定义域为R，且对任意实数x₁，x₂都满足不等式f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函数f（x）=

x，x≥0 1 2 x，x＜0

，证明：f（x）∈M；
（2）写出一个函数f（x），使得f（x₀）∉M，并说明理由；
（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限

lim

n→∞

f(n)

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=1．

已知函数f(x)=cos(x-

π

4

)．先把y=f（x）的图象上所有点向左平移

π

4

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）已知f(α)=

3

5

，α∈(

π

2

，

3π

2

)，求f（2α）的值；
（3）设g₁（x），g₂（x）是定义域为R的两个函数，满足g₂（x）=g₁（x+θ），其中θ是常数，且θ∈[0，π]．请设计一个函数y=g₁（x），给出一个相应的θ值，使得g（x）=g₁（x）•g₂（x）．并予以证明．