函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求实数m的取值范围．

函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x₁，x₂，都有f（x₁）+f（x₂）=f（x₁x₂）成立．
（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；
（2）若f（-4）=4，记 an=(-1)n•f(2n)

&(n∈N，n≥1)

，求数列{a_n}的前2009项的和S₂₀₀₉；
（3）（理） 若x＞1时，f（x）＜0，且不等式f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)对任意正实数x，y恒成立，求非零实数a的取值范围．
（4）（文） 若x＞1时，f（x）＜0，解关于x的不等式 f（x-3）≥0．

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）要得到函数y=f（x）的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到？
（Ⅲ）若不等式f（x）-m≤2在x∈[0，2π]上恒成立，求实数m的取值范围．