已知函数f(x)=

ax3+x2，x＜1 blnx  ，x≥1

，函数f（x）在x=

2

3

处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若b≤2，t＜0，函数f（x）在[t，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为2，求实数t的取值范围；
（3）对任意给定的正实数b，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

已知动圆P：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x轴分成两段弧，且弧长之比等于

1

3

 ， |OP|≤r（其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．
（1）求a，b所满足的关系式；
（2）点P在直线x-2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．

已知两点A（8，6），B（-4，0），在直线l：3x-y+2=0上找一点P，使PA-PB最大，则点P的坐标为．

已知椭圆C：

x2

a3

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率为

2

2

，过点F且与实轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过点M（0，2）作直线A B交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值；
（Ⅲ）设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．