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    [例8] 如图.有一块半椭圆形钢板.其半轴长 为.短半轴长为.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状.下 底是半椭圆的短轴.上底的端点在椭圆上.记.梯形面积为． (I)求面积以为自变量的函数式.并写出其定义域, (II)求面积的最大值． [解答](I)依题意.以的中点为原点建立直角坐标系.则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程. 解得.. 所以. .定义域为． (II)记. 则.． 令.得． 因为当时.,当时.. 所以 是的最大值． 因此.当时.也取得最大值.最大值为． 即梯形面积的最大值为． [说明] 该题以椭圆为载体.以函数思想为灵魂.以不等式.导数.三角函数等为工具.非常自然地将解析几何与导数.函数.方程.不等式.三角函数等重要数学基础知识有机交汇融为一体.无矫揉造作之嫌.是近年来较为成功的试题之一． [例9] 已知函数.常数． (1)讨论函数的奇偶性.并说明理由, (2)若函数在上为增函数.求的取值范围． [解答] (1)当时.. 对任意.. 为偶函数． 当时.. 取.得 . . 函数既不是奇函数.也不是偶函数． (2)解法一:设. . 要使函数在上为增函数.必须恒成立． .即恒成立． 又.． 的取值范围是． 解法二:当时..显然在为增函数． 当时.反比例函数在为增函数. 在为增函数． 当时.同解法一． [说明] 本题考查了函数的性质问题.尤其是单调性的定义法证明更要引起注意. 【查看更多】

     

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    （07年北京卷理）（本小题共13分）

    如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

    （I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

    （II）求面积的最大值．

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