(本小题满分14分)设函数. （1） 判断在区间上的增减性并证明之；（2） 若不等式≤≤对恒成立, 求实数的取值范围M；（3）设≤≤，若，求证：≥.

(本小题满分14分)

设函数，有。

(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)是否存在正数均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由。

(本小题满分14分) 已知函数及正整数数列. 若,且当时,有; 又,,且对任意恒成立. 数列满足:.

(1) 求数列及的通项公式;

(2) 求数列的前项和；

(3) 证明存在，使得对任意均成立．

(本小题满分14分)设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知．

(1)若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；

(2)若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．

(本小题满分14分)
某工厂生产A、B型两类产品，每个产品需粗加工和精加工两道工序完成. 已知粗加工做一个A、B型产品分别需要1小时和2小时，精加工一个A、B型产品分别需要3小时和1小时；又知粗加工、精加工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂生产一个A、B型产品分别获利润200元和300元，试问工厂每天应生产A、B型产品各多少个，才能获得利润最大？