4．(人教A版选修1-1.2-1第47页习题2.1B组第3题) 如图.矩形ABCD中...E.F.G.H分别是矩形四条边的中点.R.S.T是线段OF的四等分点...是线段CF的四等分点．请证明直——青夏教育精英家教网—

4．(人教A版选修1-1.2-1第47页习题2.1B组第3题) 如图.矩形ABCD中...E.F.G.H分别是矩形四条边的中点.R.S.T是线段OF的四等分点...是线段CF的四等分点．请证明直线ER与.ES与.ET与的交点L.M.N在同一个椭圆上．变式1:直线与双曲线的右支交于不同的两点A.B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时.则实数．解:将直线代入双曲线C的方程整理.得 --① 依题意.直线L与双曲线C的右支交于不同两点.故解得．设A.B两点的坐标分别为..则由①式得 --② ∵双曲线C的右焦点F 在以AB为直径的圆上.则由FA⊥FB得: 整理.得--③ 把②式及代入③式化简.得解得.故．变式2:A.B是双曲线上的两点.点N(1.2)是线段AB的中点． (Ⅰ)求直线AB的方程, (Ⅱ)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C.D两点.那么A.B.C.D四点是否共圆?为什么? 解:(Ⅰ)直线AB的方程为． (Ⅱ)联立方程组得.．由CD垂直平分AB.得CD方程为．代入双曲线方程整理.得．记.以及CD的中点为. 则有从而． ∵． ∴．又．即A.B.C.D四点到点M的距离相等．故A.B.C.D四点共圆．变式3:设A.B是椭圆上的两点.点N(1.3)是线段AB的中点.线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C.D两点. (Ⅰ)确定的取值范围.并求直线AB的方程, (Ⅱ)试判断是否存在这样的.使得A.B.C.D四点在同一个圆上?并说明理由. (Ⅰ)解法1:依题意.可设直线AB的方程为整理.得 ① 设①的两个不同的根. ② 是线段AB的中点.得解得＝-1.代入②得.＞12.即的取值范围是(12.+). 于是.直线AB的方程为解法2:设依题意. (Ⅱ)解法1:代入椭圆方程.整理得 ③ ③的两根. 于是由弦长公式可得 ④ 将直线AB的方程 ⑤ 同理可得 ⑥ 假设在在＞12.使得A.B.C.D四点共圆.则CD必为圆的直径.点M为圆心.点M到直线AB的距离为 ⑦ 于是.由④.⑥.⑦式和勾股定理可得故当时.A.B.C.D四点均在以M为圆心.为半径的圆上. (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得: A.B.C.D共圆△ACD为直角三角形.A为直角 ⑧ 由⑥式知.⑧式左边＝由④和⑦知.⑧式右边＝ ∴⑧式成立.即A.B.C.D四点共圆解法2:由(Ⅱ)解法1及. 代入椭圆方程.整理得 ③ 解得. 将直线AB的方程代入椭圆方程.整理得 ⑤ 解得. 不妨设 ∴ 计算可得.∴A在以CD为直径的圆上. 又点A与B关于CD对称.∴A.B.C.D四点共圆. (注:也可用勾股定理证明AC⊥AD) 【查看更多】

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如图在矩形ABCD中，AB=2+

，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（　　）