如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点．
（Ⅰ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁CC₁．
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB=

2

，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

如图，在三棱柱ABC-中，已知CC₁=BB₁=2，BC=1，∠BCC1=

π

3

，AB⊥侧面BB₁C₁C，
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角正切值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB=

2

，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示，其中主视图AA₁B₁B和左视图B₁BCC₁均为矩形，在俯视图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，cos∠A1=

3

5

．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：BC⊥AC₁；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是底边AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长都等于1，A₁在底面ABC上的射影D为BC的中点，则侧棱AA₁与底面ABC所成角的大小为，此三棱柱的体积为．