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    6．已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β．证明: (Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│a│<4+b且│b│<4; (Ⅱ)如果2│a│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2． 分析:借助函数图像讨论方程的解是很直观有效的方法.由函数y=x2+ax+b的图像易知│α│<2,│β│<2, 证明:根据韦达定理│b│=│αβ│<4． 因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2． 故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0, 2a>-(4+b); 4-2a+b>0, 2a<4+b． ∴2│a│<4+b． (Ⅱ)由 2│a│<4+b 得 4+2a+b>0 即 22+2a+b>0 f(2)>0． ① 及 4-2a+b>0 即 (-2)2+>0． ② 由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间之外．若两根α,β均落在之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾． 若α外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β内,则与①.②式矛盾． 综上所述α,β均落在内． ∴│α│<2,│β│<2． 点评:这是1993年全国高考题的压轴题,标准答案中给的第一解法是利用求根公式写出两根,再由已知求出的范围,再转化为a.b的关系.有一定的难度.但是利用数形结合.由二次函数的图象讨论实根分布问题.就容易多了.其压轴功能就大打了折扣. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β.

    求证：(1)如果|α|＜2,|β|＜2,那么2|a|＜4+b且|b|＜4;

    (2)如果2|a|＜4+b且|b|＜4,那么|α|＜2,|β|＜2.

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    已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，

    证明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.

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    已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件

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    已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，
    证明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.

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    已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实根α、β.证明

    (1)如果|α|＜2,|β|＜2,那么2|a|＜4+b且|b|＜4;

    (2)如果2|a|＜4+b且|b|＜4,那么|α|＜2,|β|＜2.

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