平面向量 [例1] 在下列各命题中为真命题的是( ) ①若=(x1,y1).=(x2,y2).则·=x1y1+x2y2 ②若A(x1,y1).B(x2,y2).则||= ③若=(x1,y1).=(x2,y2),则·=0x1x2+y1y2=0 ④若=(x1,y1).=(x2,y2).则⊥x1x2+y1y2=0 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解:根据向量数量积的坐标表示,若=(x1,y1), =(x2,y2).则·=x1x2+y1y2.对照命题(1)的结论可知.它是一个假命题. 于是对照选择支的结论.可以排除中均含有进行判定.它一定是正确的.对命题(2)而言.它就是两点间距离公式.故它是真命题.这样就以排除了. 说明:对于命题(3)而言.由于·=0=或=或⊥x1x2+y1y2=0.故它是一个真命题. 而对于命题(4)来讲.⊥x1x2+y1y2=0.但反过来.当x1x2+y1y2=0时.可以是x1=y1=0.即=.而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定.因此x1x2+y1y2=0⊥).所以命题(4)是个假命题. [例2] 已知=(-,-1), =(1, ).那么.的夹角θ=( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解:·=(-,-1)·(1.)=-2 ||==2 ||==2 ∴cosθ=== [例3] 已知=(2,1), =,若存在向量使得:·=4, ·=-9.试求向量的坐标. 解:设=(x,y),则由·=4可得: 2x+y=4,又由·=-9可得:-x+3y=-9 于是有: 由得7y=-14,∴y=-2,将它代入(1)可得:x=3 ∴=. 说明:已知两向量.可以求出它们的数量积·.但是反过来.若已知向量及数量积·.却不能确定. [例4] 求向量=(1,2)在向量=方向上的投影. 解:设向量与的夹角θ. 有cosθ= ==- ∴在方向上的投影=||cosθ=×(-)=- [例5] 已知△ABC的顶点分别为A.BC边上的高AD.求及点D的坐标. 解:设点D的坐标为(x,y) ∵AD是边BC上的高. ∴AD⊥BC.∴⊥ 又∵C.B.D三点共线. ∴∥ 又=(x-2,y-1), = =(x-3,y-2) ∴ 解方程组.得x=,y= ∴点D的坐标为(.).的坐标为(-.) [例6] 设向量.满足:||＝||=1.且+=(1.0).求.. 解:∵||＝||=1. ∴可设=, =. ∵+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0). 由(1)得:cosα=1-cosβ--(3) 由(2)得:sinα=-sinβ--(4) ∴cosα=1-cosβ= ∴sinα=±,sinβ= 或 [例7] 对于向量的集合A={=(x,y)|x2+y2≤1}中的任意两个向量.与两个非负实数α.β,求证:向量α+β的大小不超过α+β. 证明:设=(x1,y1). =(x2,y2) 根据已知条件有:x21+y21≤1,x22+y22≤1 又因为|α+β|= = 其中x1x2+y1y2≤ ≤1 所以|α+β|≤=|α+β|=α+β [例8] 已知梯形ABCD中.AB∥CD.∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB. 求证:AC⊥BC 证明:以A为原点.AB所在直线为x轴.建立直角坐标系.如图.设AD=1 则A.D(0.1) ∴=, =(1,1) ·=-1×1+1×1=0 ∴BC⊥AC. [例9] 已知A(0.a),B(0,b),(0＜a＜b).在x轴的正半轴上求点C.使∠ACB最大.并求出最大值. 解.设C(x,0)(x＞0) 则=(-x,a), =(-x,b) 则·=x2+ab. cos∠ACB== 令t=x2+ab 故cos∠ACB= 当=即t=2ab时.cos∠ACB最大值为. 当C的坐标为(,0)时.∠ACB最大值为arccos. [例10] 如图.四边形ABCD是正方形.P是对角线BD上的一点.PECF是矩形.用向量法证明 PA⊥EF 证明:建立如图所示坐标系.设正方形边长为1. ||=λ,则A(0.1).P(λ.λ).E(1.λ).F(λ.0) ∴=(-λ,1-λ), =(λ-1,- λ) (1)||2=(-λ)2+(1-λ)2=λ2-λ+1 ||2=(λ-1)2+(-λ)2=λ2-λ+1 ∴||2=||2,故PA=EF (2) ·=(-λ)(λ-1)+(1-λ)(-λ)=0 ∴⊥ ∴PA⊥EF. [例11] 已知 ① 求, ②当k为何实数时,k与平行, 平行时它们是同向还是反向? 解:①= = , ∴= =. ②k= k. 设k=λ(),即, ∴ . 故k= 时, 它们反向平行. [例12] 已知与的夹角为,若向量与垂直, 求k. 解:=2×1×=1. ∵与垂直, ∴()= , ∴2 k = - 5. [例13] 如果△ABC的三边a.b.c满足b2 + c 2 = 5a2,BE.CF分别为AC边与AB上的中线, 求证:BE⊥CF. 解: ∴⊥, 即 BE⊥CF . [例14] 是否存在4个平面向量.两两不共线.其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直? 解:如图所示.在正△ABC中.O为其内心.P为圆周上一点. 满足...两两不共线.有 (+)·(+) =(+++)·(++) =(2++)·(2+) =(2-)·(2+) =42-2 =42-2=0 有(+)与(+)垂直. 同理证其他情况.从而...满足题意.故存在这样4个平面向量. 平面向量的综合应用1．利用向量的坐标运算.解决两直线的夹角.判定两直线平行.垂直问题 [例1] 已知向量满足条件..求证:是正三角形解:令O为坐标原点.可设由.即 ① ② 两式平方和为.. 由此可知的最小正角为.即与的夹角为. 同理可得与的夹角为.与的夹角为. 这说明三点均匀分部在一个单位圆上. 所以为等腰三角形. [例2] 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解:如图.分别以等腰直角三角形的两直角边为轴. 轴建立直角坐标系.设.则. 从而可求:, =. . 【查看更多】

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