不等式的解法 [例1] 解不等式: 解:原不等式可化为:＞0. 即［(a-1)x+(2-a)］(x-2)＞0. 当a＞1时.原不等式与(x-)(x-2)＞0同解. 若≥2.即0≤a——青夏教育精英家教网—

不等式的解法 [例1] 解不等式: 解:原不等式可化为:＞0. 即［(a-1)x+(2-a)］(x-2)＞0. 当a＞1时.原不等式与(x-)(x-2)＞0同解. 若≥2.即0≤a＜1时.原不等式无解,若＜2.即a＜0或a＞1.于是a＞1时原不等式的解为(-∞.)∪. 当a＜1时.若a＜0.解集为(.2),若0＜a＜1.解集为(2.) 综上所述: 当a＞1时解集为(-∞.)∪, 当0＜a＜1时.解集为(2.), 当a=0时.解集为, 当a＜0时.解集为(.2). [例2] 设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M.如果M［1.4］.求实数a的取值范围. 解:M［1.4］有n种情况:其一是M=.此时Δ＜0,其二是M≠.此时Δ＞0.分三种情况计算a的取值范围. 设f(x)=x2 -2ax+a+2.有Δ=(-2a)2-(4a+2)=4(a2-a-2) (1)当Δ＜0时.-1＜a＜2.M=［1.4］ (2)当Δ=0时.a=-1或2.当a=-1时M={-1}?［1.4］,当a=2时.m={2}［1.4］. (3)当Δ＞0时.a＜-1或a＞2.设方程f(x)=0的两根x1.x2.且x1＜x2.那么M=［x1.x2］.M［1.4］1≤x1＜x2≤4 即.解得:2＜a＜. ∴M［1.4］时.a的取值范围是(-1.). [例3] 解关于x的不等式:．解:原不等式等价于 ①.即. 由于.所以.所以.上述不等式等价于 ② 解答这个含参数的不等式组.必然需要分类讨论.此时.分类的标准的确定就成了解答的关键．如何确定这一标准? (1)当时.不等式组②等价于此时.由于.所以．从而． (2)当时.不等式组②等价于所以． (3)当时.不等式组②等价于此时.由于.所以.．综上可知: 当时.原不等式的解集为, 当时.原不等式的解集为, 当时.原不等式的解集为． [例4] 解关于的不等式: 解:原不等式等价于 .∴当时.原不等式的解集为当时.原不等式的解集为 [例5] 设函数. (1)当时.解不等式, (2)求的取值范围.使得函数在上为单调函数．讲解:(1)时.可化为:.等价于: ① 或 ② 解①得 .解②得．所以.原不等式的解集为． (2)任取.且.则要使函数在上为单调函数.需且只需: 恒成立.(或恒成立)．因此.只要求出在条件“.且之下的最大.最小值即可．为了探求这个代数式的最值.我们可以考虑极端情况.如:.容易知道.此时,若考虑.则不难看出.此时.至此我们可以看出:要使得函数为单调函数.只需．事实上.当时.由于恒成立.所以.．所以.在条件“.且之下.必有:．所以.在区间上单调递减．当时.由(1)可以看出:特例的情况下.存在．由此可以猜想:函数在区间上不是单调函数．为了说明这一点.只需找到.使得即可．简便起见.不妨取.此时.可求得.也即:.所以.在区间上不是单调函数．另解:.对.易知: 当时.,当时., 所以当时.. 从而只须.必有.函数在上单调递减. [例6] 已知f(x)是定义在［-1.1］上的奇函数.且f(1)=1.若m.n∈［-1.1］. m+n≠0时＞0. (1)用定义证明f(x)在［-1.1］上是增函数, (2)解不等式:f(x+)＜f(), (3)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈［-1.1］.a∈［-1.1］恒成立.求实数t的取值范围. 解:(1)证明:任取x1＜x2.且x1.x2∈［-1.1］. 则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=·(x1-x2) ∵-1≤x1＜x2≤1. ∴x1+(-x2)≠0.由已知＞0.又 x1-x2＜0. ∴f(x1)-f(x2)＜0.即f(x)在［-1.1］上为增函数. (2)解:∵f(x)在［-1.1］上为增函数. ∴ 解得:{x|-≤x＜-1.x∈R} 可知f(x)在［-1.1］上为增函数.且f(1)=1. 故对x∈［-1.1］.恒有f(x)≤1. 所以要f(x)≤t2-2at+1对所有x∈［-1.1］.a∈［-1.1］恒成立. 即要t2-2at+1≥1成立.故t2-2at≥0. 记g(a)=t2-2at.对a∈［-1.1］.g(a)≥0. 只需g(a)在［-1.1］上的最小值大于等于0. g(-1)≥0.g(1)≥0.解得.t≤-2或t=0或t≥2. ∴t的取值范围是:{t|t≤-2或t=0或t≥2}. [例7] 给出一个不等式(x∈R). 经验证:当c=1, 2, 3时.对于x取一切实数.不等式都成立. 试问:当c取任何正数时.不等式对任何实数x是否都成立?若能成立.请给出证明,若不成立.请求出c的取值范围.使不等式对任何实数x都能成立. 解:令f(x)=.设u=(u≥) 则f(x)= (u≥) ∴f(x) 要使不等式成立.即f(x)-≥0 ∵u≥>0 ∴只须u-1≥0 ∴u2c≥1 u2≥ ∴x2+c≥ ∴x2≥-c 故当c=时. 原不等式不是对一切实数x都成立.即原不等式对一切实数x不都成立要使原不等式对一切实数x都成立.即使x2≥-c对一切实数都成立. ∵x2≥0 故-c≤0 ∴c≥1 ∴c≥1时.原不等式对一切实数x都能成立. 不等式的证明 [例1] 已知.求证: 解1: ．因为.所以..所以. 所以..命题得证．解2:因为.所以..所以. . 由解1可知:上式>1．故命题得证． [例2] 已知a＞0.b＞0.且a+b=1.求证:(a+)(b+)≥. 证法一: 欲证原式.即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0.即证4(ab)2-33(ab)+8≥0. 即证ab≤或ab≥8. ∵a＞0.b＞0.a+b=1.∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2.∴ab≤.从而得证. 证法二: 设a=+t1.b=+t2. ∵a+b=1.a＞0.b＞0.∴t1+t2=0.|t1|＜.|t2|＜显然当且仅当t=0.即a=b=时.等号成立. 证法三: ∵a+b=1.a＞0.b＞0.∴a+b≥2.∴ab≤ 证法四: ∵a+b=1. a＞0.b＞0.∴a+b≥2.∴ab≤. 证法五: ∵ a＞0.b＞0.a+b=1.故令a=sin2α.b=cos2α.α∈(0.) 2 [例3] 证明不等式(n∈N*) 证法一:(1)当n等于1时.不等式左端等于1.右端等于2.所以不等式成立, (2)假设n=k(k≥1)时.不等式成立.即1+＜2. ∴当n=k+1时.不等式成立. 综合得:当n∈N*时.都有1+＜2. 另从k到k+1时的证明还有下列证法: 证法二:对任意k∈N*.都有: 证法三:设f(n)= 那么对任意k∈N?* 都有: ∴f(k+1)＞f(k) 因此.对任意n∈N* 都有f(n)＞f(n-1)＞-＞f(1)=1＞0. ∴ 不等式的应用 [例1] 根据复合函数的单调性得: [例2] 例2.已知函数 (1)判断函数的增减性, (2)若命题为真命题.求实数x的取值范围. 解:(1)函数是增函数, (2).必有时..不等式化为. 故,当. 不等式化为.这显然成立.此时, 当时.. 不等式化为故, 综上所述知.使命题p为真命题的x的取值范围是 [例3] 已知函数解: [例4] 设是由正数组成的等比数列.项之和. (1)证明 (2)是否存在常数C>0,使得成立?并证明你的结论. 证明:(I) 根据对数函数的单调性.可得即 (2)不存在常数C使等式成立. 证法一:因为要使 , 综合上面的证明可见不存在常数还可以直接用反证法证明: 证法二:假设存在常数C>0.使等式能够成立,则有由(4)可得: 由平均值不等式可知＝ [例5] 设是任意给定的自然数.且. (1)如果时有意义.求a的取值范围. (2)如果0时成立. 解:(I) . , (2)证法一: 根据 + 下面用数学归纳法证之. A. 设n=2时若 .即(1)成立. 若 B. 设 +-+ + 证法二: 只需证明.. [例6] 如图.ΔABC是某屋顶的断面.CD⊥AB.横梁AB的长是竖梁CD长的2倍.设计时应使保持最小.试确定D点的位置.并求y的最小值. 解:设AD=x.CD=1. 则AB=2.BD=2–x.(0<x<2) 令 ∵,当且仅当时取等号 ∴当时.y取得最小值此时答:取AD:DB=1:时.y有最小值 [例7] 在一容器内装有浓度为r%的溶液a升.注入浓度为p%的溶液升.搅匀后再倒出溶液升.这叫做一次操作. (I)设第n次操作后容器内溶液的浓度为. 计算.并归纳出的计算公式 (II)设要使容器内溶液浓度不小于q%.问至少要进行上述操作多少次?(已知) 解: [例8] 某商场经过市场调查分析后得知.2003年从年初开始的前n个月内.对某种商品需求的累计数近似地满足下列关系: (Ⅰ)问这一年内.哪几个月需求量超过1.3万件? (Ⅱ)若在全年销售中.将该产品都在每月初等量投放市场.为了保证该商品全年不脱销.每月初至少要投放多少件商品? 解:(Ⅰ)首先.第n个月的月需求量＝ ∵. ∴ ．当时. ∴ 令.即 .解得:. ∵ n∈N. ∴n = 5 .6 即这一年的5.6两个月的需求量超过1.3万件． (Ⅱ)设每月初等量投放商品a万件.要使商品不脱销.对于第n个月来说.不仅有本月投放市场的a万件商品.还有前几个月未销售完的商品．所以.需且只需:. ∴ 又∵ ∴ 即每月初至少要投放11112件商品.才能保证全年不脱销． [例9] 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比.与它的厚度d的平方成正比.与它的长度l的平方成反比． (Ⅰ)将此枕木翻转90°.枕木的安全负荷变大吗?为什么? (Ⅱ)现有一根横断面为半圆的木材.用它来截取成长方体形的枕木.木材长度即为枕木规定的长度.问如何截取.可使安全负荷最大? 解:(Ⅰ)由题可设安全负荷为正常数).则翻转90º后.安全负荷．因为.所以.当时.．安全负荷变大, 当时..安全负荷变小． (2)如图.设截取的枕木宽为a.高为d.则.即． ∵ 枕木长度不变.∴u=ad2最大时.安全负荷最大 ∴ 当且仅当. 即取.时.u最大. 即安全负荷最大． [例10] 现有流量均为300的两条河流A.B会合于某处后.不断混合.它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始.沿岸设有若干个观测点.两股水流在流经相邻两个观测点的过程中.其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量.即从A股流入B股100水.经混合后.又从B股流入A股100水并混合．问:从第几个观测点开始.两股河水的含沙量之差小于0.01? 解:本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01 ．但直接建构这样的不等关系较为困难．为表达方便.我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时.A水流和B水流的含沙量．则＝2.＝0.2.且．(＊) 由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差.所以.我们不妨直接考虑数列．由(＊)可得: 所以.数列是以为首项.以为公比的等比数列．所以.．由题.令< 0.01.得．所以.．由得.所以.．即从第9个观测点开始.两股水流的含沙量之差小于0.01． [例11] 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀.且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器设容器高为h米.盖子边长为a米. (1)求a关于h的解析式, (2)设容器的容积为V立方米.则当h为何值时.V最大?求出V的最大值(求解本题时.不计容器厚度) 解:①设h′是正四棱锥的斜高.由题设可得: 消去 ②由 (h＞0) 得: 所以V≤.当且仅当h=即h=1时取等号故当h=1米时.V有最大值.V的最大值为立方米. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

研究问题：“已知关于x的不等式的解集为(1，2)，解关于x的不等式”，有如下解法：
解：由，令，则，1)，
所以不等式的解集为(，1)．
参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式的解集为　　．