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    两角和与差的三角函数 [例1] 已知.求的范围. 解:设=..则 = 比较系数∴= 从而可得: [例2] 设.求的解的终边相同的角的集合. 解:先写出A与B的交.再写出终边相同的角的集合. 设.则,所以 ∴.即.由于 ∴,因此 因此所有与的角的终边相同的角的集合为 [例3] 已知 的最值. 解:∵ ∴-. ∴ ∵ ∴ 即 ∴ y= 当sina∈[.1]时函数y递增.∴当sina=时 ymin=, 当sina∈(.0)时.函数y递减.∴当sina=0时.ymin= ∴ 故当无最大值. [例4] 求值 解: [例5] 已知＜β＜α＜,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值 . 解法一:∵＜β＜α＜,∴0＜α-β＜.π＜α+β＜, ∴sin(α-β)= ∴sin2α=sin［(α-β)+(α+β)］ =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) 解法二:∵sin(α-β)=,cos(α+β)=-, ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=- sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=- ∴sin2α= [例6] 不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值. 解法一:sin220°+cos280°+sin220°cos80° = + + sin20°cos80° =1-cos40°+cos160°+sin20°cos =1-cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°) +sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) =1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220° =1-cos40°-= 解法二:设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80° y=cos220°+sin280°-cos20°sin80°.则 x+y=1+1-sin60°=.x-y=-cos40°+cos160°+sin100° =-2sin100°sin60°+sin100°=0 ∴x=y=.即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=. [例7] 设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a).试确定满足f(a)=的a值.并对此时的a值求y的最大值. 解:由y=2(cosx-)2-及cosx∈［-1.1］得: f(a) ∵f(a)=,∴1-4a=a=［2,+∞ 故--2a-1=.解得:a=-1.此时. y=2(cosx+)2+.当cosx=1时.即x=2kπ.k∈Z.ymax=5. [例8] 求值:. 解:原式的分子 . 原式的分母＝ . 所以.原式＝1． [例9] 已知.求的值． 解1:令.则原题等价于: 已知.求的值． 两式分别和差化积并相除得:.所以 . 分别将已知两式平方并求和得:, 所以.. 解2:由平方相加得:． 上述两式平方相减得:． 将上式前两项和差化积.得:. 结合.可解得:． 所以.． [例10] 已知函数在区间上单调递减.试求实数的取值范围． 解:已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式． 任取.且.则不等式恒成立. 即恒成立． 化简得 由可知:. 所以 上式恒成立的条件为:. 由于 且当时..所以 , 从而 , 有 , 故的取值范围为. [例11] 解:∵ A+B+C=π. [例12] 在中.分别是角的对边.设.求的值 解:由条件..依据正弦定理.得 在 ∴ ∴ ∴, 即 三角函数的图象与性质 [例1] 试确定下列函数的定义域 ⑴,⑵ 解:⑴要使函数有意义.只须满足条件 解得: ⑵要使函数有意义.只须满足条件 解得 [例2] 求函数的最小值 解:∵ ∴ 当 [例3] 已知函数f(x)=2asin2x-2asinxcosx+a+b-1.(a.b为常数.a<0).它的定义域为[0,].值域为[-3,1].试求a.b的值. 解:f(x)=2asin2x-2asinxcosx+a+b-1 =a(1-cos2x)-asin2x+a+b-1 =-2asin ∵0≤x≤ ∴≤2x+≤ ∴ ∵a<0 ∴a≤-2asin-2a ∴3a+b-1≤-2asin+2a+b-1≤b-1 ∵值域为[-3,1] ∴ ∴ [例4] 已知函数的图象在y轴上的截距为1.它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()和(). (1)求的解析式, (2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的.然后再将所得图象向x轴正方向平移个单位.得到函数y=g(x)的图象.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解:(1)由已知.易得A=2． .解得． 把(0.1)代入解析式.得 ．又.解得．∴为所求． (2)压缩后的函数解析式为再平移. 得 0 0 2 0 -2 0 [例5] 求函数的最值.并写出使函数取得最值的的集合. 解:令. ∴函数 当且仅当时. 函数取得最小值的的集合 又函数是单调递增的 证明如下: ∵ ∴ ∴.∴是单调递增的 ∴当时.函数 函数取得最大值的的集合 [例6] 中.已知三内角A.B.C依次成等差数列.求的取值范围. 解:由已知得 即的取值范围为 [例7] 已知.问当分别取何值时. 取最大值.并求出此最大值. 解: 此时.由解得 [例8] 在ΔABC中.求的最小值.并指出取最小值时ΔABC的形状.并说明理由. 解:令 ∵在ΔABC中..∴ 又. ∴ 当时.y取得最小值, 由知A=C.由知.B=60°, 故A=B=C=60°. 即y取最小值时.ΔABC的形状为等边三角形. [例9] 已知函数f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx (1)求函数f(x)的最小正周期, (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值, (3)若当x∈［.］时.f(x)的反函数为f-1(x).求f--1(1)的值. 解:(1)f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx =2cosx(sinxcos+cosxsin)-sin2x+sinxcosx =2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+) ∴f(x)的最小正周期T=π (2)当2x+=2kπ-.即x=kπ- (k∈Z)时.f(x)取得最小值-2. (3)令2sin(2x+)=1.又x∈［］, ∴2x+∈［,］,∴2x+=.则 x=.故f--1(1)=. [例10] 已知α.β为锐角.且x(α+β-)＞0,试证不等式f(x)=x＜2对一切非零实数都成立. 证明:若x＞0.则α+β＞. ∵α.β为锐角.∴0＜-α＜β＜;0＜-β＜, ∴0＜sin(-α)＜sinβ.0＜sin(-β)＜sinα. ∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα, ∴0＜＜1,0＜＜1, ∴f(x)在上单调递减.∴f(x)＜f(0)=2. 若x＜0,α+β＜, ∵α.β为锐角.0＜β＜-α＜,0＜α＜-β＜,0＜sinβ＜sin(-α), ∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin(-β),∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1, ∵f(x)在上单调递增.∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立. [例11] 设z1=m+(2-m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R.已知z1=2z2.求λ的取值范围. 解法一:∵z1=2z2. ∴m+(2-m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴ ∴λ=1-2cos2θ-sinθ=2sin2θ-sinθ-1=2(sinθ-)2-. 当sinθ=时λ取最小值-.当sinθ=-1时.λ取最大值2. 解法二:∵z1=2z2 ∴ ∴, ∴=1. ∴m4-(3-4λ)m2+4λ2-8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4, 令f(t)=t2-(3-4λ)t+4λ2-8λ,则或f(0)·f(4)≤0 ∴ ∴-≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［-.2］. [例12] 如右图.一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点.由于运动员的技巧.在O点保持速率v0不为.并以倾角θ起跳.落至B点.令OB=L.试问.α=30°时.L的最大值为多少?当L取最大值时.θ为多大? 解:由已知条件列出从O点飞出后的运动方程: ① ② 由①②整理得:v0cosθ= ∴v02+gLsinα=g2t2+≥=gL 运动员从A点滑至O点.机械守恒有:mgh=mv02, ∴v02=2gh,∴L≤=200(m) 即Lmax=200(m),又g2t2=. ∴ 得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值为200米.当L最大时.起跳仰角为30°. [例13] 如下图.某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数: y=Asin(ωx+φ)+b,(1)求这段时间的最大温差,(2)写出这段曲线的函数解析式. 解:(1)由图示.这段时间的最大温差是30-10=20(℃), (2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象. ∴=14-6,解得ω=,由图示A==10.b==20.这时y=10sin(x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=π.综上所求的解析式为y=10sin(x+ π)+20,x∈［6,14］. [例14] 已知函数(.且均为常数). (1)求函数的最小正周期, (2)若在区间上单调递增.且恰好能够取到的最小值2.试求的值． 解:研究三角函数的性质(如周期.最值.单调性.奇偶性等)时.首先应该对所给的函数关系式进行化简.最好化为一个角(形如).一种三角函数的形式． (1) (其中由下面的两式所确定:) 所以.函数的最小正周期为． 可知:的最小值为.所以.． 另外.由在区间上单调递增.可知:在区间上的最小值为.所以.=． 解之得: [例15] 设.试比较=与=的大小关系． 解:观察所给的两个函数.它们均是两个三角函数的复合函数.因此.我们不难想到:它们可能仍然具备三角函数的某些性质.如单调性.周期性.奇偶性等． 初步判断便可以确定:.都是周期函数.且最小正周期分别为.．所以.只需考虑的情形． 另外.由于为偶函数.为奇函数.所以.很自然的可以联想到:能否把需考虑的的范围继续缩小? 事实上.当时.>0.恒成立.此时.>． 下面.我们只需考虑的情形． 如果我们把看作是关于的余弦函数.把看作是关于的正弦函数.那么这两个函数既不同名.自变量也不相同.为了能进行比较.我们可以作如下恒等变换.使之成为同名函数.以期利用三角函数的单调性． 至此为止.可以看出:由于和同属于余弦函数的一个单调区间.(即.).所以.只需比较与的大小即可． 事实上. ()-=-= 所以.利用余弦函数在上单调递减.可得: <．也即< 综上.<． 点评 本题好在充分地运用了正余弦函数的值域.周期性.奇偶性.单调性等性质.对于训练学生思维.加深对这些性质的理解.以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助．是一道很有训练价值的好题． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知tan(＋a)=2，求的值．(编者提示：由tan(＋a)＝2可得tan a＝，详见两角和与差的三角函数)

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    阅读下面材料：
    根据两角和与差的正弦公式，有
    sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
    sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
    由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
    α+β=A，α-β=B 有α=
    A+B
    2
    ，β=
    A-B
    2

    代入③得 sinA+cosB=2sin
    A+B
    2
    cos
    A-B
    2
    ．
    （1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
    A+B
    2
    sin
    A-B
    2
    ；
    （2）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用阅读材料及（1）中的结论试判断△ABC的形状．

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    （2012•长春一模）类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S（x）=ax-a-x，C（x）=ax+a-x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是：（　　）
    ①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；②S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）；
    ③2S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；④2S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）．

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    类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)=
    ax-a-x
    2
    ，C(x)=
    ax+a-x
    2
    ，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是
     
    ．
    ①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）； ②S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）；
    ③C（x+y）=C（x）C（y）-S（x）S（y）； ④C（x-y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）．

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    阅读下面材料：
    根据两角和与差的正弦公式，有：
    sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
    sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
    由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
    令α+β=A，α-β=B有α=
    A+B
    2
    ，β=
    A-B
    2

    代入③得sinA+sinB=2sin
    A+B
    2
    cos
    A-B
    2
    ．
    （Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
    A+B
    2
    sin
    A-B
    2
    ；
    （Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=1-cos2C，试判断△ABC的形状．（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

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