已知数列中，当时，函数取得极值。

（1）求数列的通项公式。

（2）若点。过函数图象上的点的切线始终与平行（O是坐标原点）。求证：当时，不等式对任意

都成立。

已知数列{a_n}  和 {b_n}中，a₁=t（t＞0），a₂=t²．当x=

t

时，函数f（x）=

1

3

(an-1-an)x3-（a_n-a_n+1）x（n≥2）取得极值．
（1）求数列{a_n} 的通项公式．
（2）若点P_n（1，b_n）．过函数g（x）=ln（1+x²）图象上的点（a_n，g（a_n））的切线始终与OP_n平行（O是坐标原点）．求证：当

1

2

＜t＜2时，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2n-2

-n

2

对任意n∈N^*都成立．

已知数列{a_n}中，a1=1，anan+1=(

1

3

)n，(n∈N*)，
（1）求证：数列{a_2n}与{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比数列；
（2）求数列{a_n}前2n的和T_2n；
（3）若数列{a_n}前2n的和为T_2n，不等式81T_2n•a_2n≤2（1-ka_2n）对（n∈N^*）恒成立，求k的最大值．