已知数列{a_n}满足an=2an-1+2n-1(n≥2)，且a4=81．
（I）求数列的前三项a₁，a₂，a₃；
（II）求证：数列{

an-1

2n

}为等差数列；
（III）求数列{a_n}的前n项和S_n．

已知数列{a_n}满足：a1+

a2

λ

+

a3

λ2

+…+

an

λn-1

=n2+2n（其中常数λ＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当λ=4时，数列{a_n}中的任何三项都不可能成等比数列；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和．求证：若任意n∈N^*，（1-λ）S_n+λa_n≥3．

已知数列{a_n}满足：a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N⁺，n≥2）且a₄=65．
（1）求数列{a_n}的前三项；
（2）是否存在一个实数λ，使数列{

an+λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，求数列{a_n}的前n项和S_n．