椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆上的一点，且满足

F1M

•

F2M

=0．
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5

2

；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，-

3

3

)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为4

2

，A，B分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f(x)=

S2(x)

x+3

，求函数f（x）的最大值．

椭圆的中心是原点O，短轴长为2

3

，左焦点为F（-c，0）（c＞0），相应的准线l与x轴交于点A，且点F分

AO

的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）设

AQ

=λ

AP

（λ＞1），点Q关于x轴的对称点为Q′，求证：

FQ′

=-λ

FP

．