（本小题满分12分）

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。

（I）求双曲线C的方程；                                

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。   

（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

（本小题满分12分）

        如图，A、B分别是椭圆的公共左右顶点，P、Q分别位于椭圆和双曲线上且不同于A、B的两点，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂­+k₃+k₄=0。

   （1）求证：O、P、Q三点共线；（O为坐标原点）

   （2）设F₁、F₂分别是椭圆和双曲线的右焦点，已知PF₁//QF₂，求的值。