设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对正数x、y都有；（2）当时，；（3）。则

   （Ⅰ）求和的值；

   （Ⅱ）如果不等式成立，求x的取值范围．

   （Ⅲ）如果存在正数k，使不等式有解，求正数的取值范围．

设是定义在R上的偶函数，满足，且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于函数的判断：①是周期函数；②的图像关于直线x=1对称；③在[0，1]上是增函数；其中所有正确判断的序号是        。

 

已知是定义在上的增函数，且记。

（1）设，若数列满足，试写出的通项公式及前的和：

（2）对于任意、，若，判断的值的符号。

A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：
①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|Φ（2x₁）-Φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|；
（1）设Φ(x)=

[

3]1+x，x∈[2，4]，证明：Φ（x）∈A；
（2）设Φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=Φ（2x₀），那么，这样的x₀是唯一的；
（3）设Φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=Φ（2x_n），n=1，2，…，
证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤

Lk-1

1-L

|x2-x1|成立．