已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求直线PF₁的方程；
（2）求椭圆E的方程；
（3）设Q为椭圆E上的一个动点，求证：以QF₁为直径的圆与圆x²+y²=18相切．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0，且a＞1）的右焦点为F（c，0），离心率为e．直线l：y=ex-a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点．
（1）试用a、b、c表示点M的坐标．
（2）若

AM

=λ

AB

，证明：λ=1-e²．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设

AM

=λ

AB

．
（Ⅰ）证明：λ=1-e²；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设

AM

=λ

AB

．
（Ⅰ）证明：λ=1-e²；
（Ⅱ）若λ=

3

4

，△MF₁F₂的周长为6；写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

已知离心率为

1

2

的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点P，点F是椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点M（m，0），使过M且与椭圆交于R、S两点的任意直线l，均满足∠RFP=∠SFP？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．