已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数（n∈N，且n≥2），求函数f（n）的最小值；
（3）设b_n=，S_n表示数列{b_n}的前n项和。试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）·g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？ 若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。