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    题型1:直线间的距离问题 例1．已知正方体的棱长为1.求直线DA'与AC的距离. 解法1:如图1连结A'C'.则AC∥面A'C'D'. 连结DA'.DC'.DO'.过O作OE⊥DO'于E 因为A'C'⊥面BB'D'D.所以A'C'⊥OE. 又O'D⊥OE.所以OE⊥面A'C'D. 因此OE为直线DA'与AC的距离 在Rt△OO'D中..可求得 点评:此题是异面直线的距离问题:可作出异面直线的公垂线. 解法2:如图2连接A'C'.DC'.B'C.AB'A'.得到分别包含DA'和AC的两个平面A'C'D和平面AB'C. 又因为A'C'∥AC.A'D∥B'C.所以面A'C'D∥面AB'C. 故DA'与AC的距离就是平面A'C'D和平面AB'C的距离.连BD'分别交两平面于两点.易证是两平行平面距离 不难算出.所以.所以异面直线BD与之间的距离为. 点评:若考虑到异面直线的公垂线不易做出.可分别过两异面直线作两平面互相平行.则异面直线的距离就是两平面的距离 题型2:线线夹角 例2．如图1.在三棱锥S-ABC中.....求异面直线SC与AB所成角的余弦值. 图1 解法1:用公式 当直线平面.AB与所成的角为.l是内的一条直线.l与AB在内的射影所成的角为.则异面直线l与AB所成的角满足.以此为据求解 由题意.知平面ABC..由三垂线定理.知.所以平面SAC. 因为.由勾股定理.得 . 在中..在中.. 设SC与AB所成角为.则. 解法2:平移 过点C作CD//BA.过点A作BC的平行线交CD于D.连结SD.则是异面直线SC与AB所成的角.如图2.又四边形ABCD是平行四边形. 由勾股定理.得:. 图2 在中.由余弦定理.得:. 点评:若不垂直.可经过如下几个步骤求解:(1)恰当选点.作两条异面直线的平行线.构造平面角,(2)证明这个角就是异面直线所成角,(3)解三角形.求出所构造角的度数 题型3:点线距离 例3． 如图.在五面体ABCDEF中.FA 平面ABCD, AD//BC//FE.ABAD.M为EC的中点.AF=AB=BC=FE=A (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小, (II) 证明平面AMD平面CDE, (III)求二面角A-CD-E的余弦值 本小题要考查异面直线所成的角.平面与平面垂直.二面角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想像能力.运算能力和推理论证能力.满分12分. 方法一:(Ⅰ)解:由题设知.BF//CE.所以∠CED为异面直线BF与DE所成的角.设P为AD的中点.连结EP.PC.因为FEAP.所以FAEP.同理ABPC.又FA⊥平面ABCD.所以EP⊥平面ABCD.而PC.AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC.EP⊥AD.由AB⊥AD.可得PC⊥AD设FA=a.则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=.故∠CED=60°.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 (II)证明:因为 (III) 由(I)可得. 方法二:如图所示.建立空间直角坐标系. 点为坐标原点.设依题意得 (I) 所以异面直线与所成的角的大小为. (II)证明: . (III) 又由题设.平面的一个法向量为 题型4:点面距离 例4．问5分. 如题(19)图.在四棱锥中.且,平面平面.,为的中点.．求: (Ⅰ)点到平面的距离, (Ⅱ)二面角的大小． 解法一: (Ⅰ)因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离. 因为平面故,从而.由AD//BC.得,又由知.从而为点A到平面的距离.因此在中 图1.过E电作交于点G.又过G点作,交AB于H.故为二面角的平面角.记为.过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故. 由于E为BS边中点.故,在中. ,因.又 故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得 因此而在中. 在中.可得.故所求二面角的大小为 解法二: 为坐标原点.射线OD,OC分别为x轴.y轴正向.建立空间坐标系.设.因平面 即点A在xoz平面上.因此 又 因AD//BC.故BC⊥平面CSD.即BCS与平面 yOx重合.从而点A到平面BCS的距离为. .D. 因E为BS的中点. ΔBCS为直角三角形 , 知 设B(0,2, ).＞0.则＝2.故B . 在CD上取点G.设G().使GE⊥CD 由故 ① 又点G在直线CD上.即.由=().则有 ② 联立①.②.解得G＝ , 故=.又由AD⊥CD.所以二面角E-CD-A的平面角为向量与向量所成的角.记此角为 . 因为=.,所 故所求的二面角的大小为 . 点评:本小题主要考查直线与平面的位置关系.异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识.考查空间想象能力.逻辑思维能力和运算能力 题型5:线面距离 例5．问7分. 如题(18)图.在五面体中.∥...四边形为平行四边形.平面.．求: (Ⅰ)直线到平面的距离, (Ⅱ)二面角的平面角的正切值． 解法一: (Ⅰ)平面, AB到面的距离等于点A到面的距离.过点A作于G.因∥.故,又平面.由三垂线定理可知..故.知.所以AG为所求直线AB到面的距离 在中. 由平面.得AD.从而在中. .即直线到平面的距离为. (Ⅱ)由己知.平面.得AD.又由.知.故平面ABFE .所以.为二面角的平面角.记为. 在中, ,由得,,从而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值为. 解法二: (Ⅰ)如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则 A D 设可得,由.即,解得 ∥. 面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离.设A点在平面上的射影点为,则 因且,而 ,此即 解得 ① ,知G点在面上,故G点在FD上. ,故有 ② 联立①,②解得, 为直线AB到面的距离. 而 所以 (Ⅱ)因四边形为平行四边形,则可设, .由 得,解得.即.故 由,因,,故为二面角的平面角.又,,,所以 点评:线面距离往往转化成点面距离来处理.最后可能转化为空间几何体的体积求得.体积法不用得到垂线. 题型6:线面夹角 例6．2009湖南卷文) 如图3.在正三棱柱中.AB=4, ,点D是BC的中点.点E在AC上.且DEE. (Ⅰ)证明:平面平面 (Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值 解:(Ⅰ)如图所示.由正三棱柱的性质知平面. 又DE平面ABC.所以DE.而DEE., 所以DE⊥平面.又DE 平面. 故平面⊥平面. (Ⅱ)解法 1: 过点A作AF垂直于点, 连接DF.由(Ⅰ)知.平面⊥平面. 所以AF平面,故是直线AD和 平面所成的角. 因为DE. 所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形. 于是AD=.AE=4-CE=4-=3. 又因为.所以E= = 4, , . 即直线AD和平面所成角的正弦值为 解法2 : 如图所示.设O是AC的中点.以O为原点建立空间直角坐标系. 则相关各点的坐标分别是A, (2,0,), D(-1, ,0), E. 易知=(-3..-).=(0.-.0).=(-3..0). 设是平面的一个法向量.则 解得. 故可取.于 = 由此即知.直线AD和平面所成角的正弦值为 点评:本题主要考查几何体的概念.线面夹角.两平面垂直等.能力方面主要考查空间想象能力.逻辑思维能力和运算能力 题型7:面面距离 例7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AB=4.BC=3.CC1=2.如图: (1)求证:平面A1BC1∥平面ACD1, 中两个平行平面间的距离, (3)求点B1到平面A1BC1的距离. (1)证明:由于BC1∥AD1.则BC1∥平面ACD1. 同理.A1B∥平面ACD1.则平面A1BC1∥平面ACD1. (2)解:设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d.则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5.A1B=2.BC1=.则cosA1BC1=.则sinA1BC1=.则S=. 由于.则S·d=·BB1.代入求得d=.即两平行平面间的距离为. (3)解:由于线段B1D1被平面A1BC1所平分.则B1.D1到平面A1BC1的距离相等.则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于. 点评:立体几何图形必须借助面的衬托.点.线.面的位置关系才能显露地“立 起来.在具体的问题中.证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在.通过对这个平面的截得.延展或构造.纲举目张.问题就迎刃而解了. 题型8:面面角 例8．如图.在长方体中.分别是的中点.分别是的中点.. (Ⅰ)求证:面, (Ⅱ)求二面角的大小. (Ⅲ)求三棱锥的体积. 解析:(Ⅰ)证明:取的中点.连结 ∵分别为的中点. ∵.∴面.面 ∴面面 ∴面 (Ⅱ)设为的中点 ∵为的中点 ∴ ∴面 作.交于.连结.则由三垂线定理得. 从而为二面角的平面角 在中..从而. 在中..故二面角的正切值为. (Ⅲ). 作.交于.由面得. ∴面. ∴在中.. ∴. 点评:求角和距离的基本步骤是作.证.算.此外还要特别注意融合在运算中的推理过程.推理是运算的基础.运算只是推理过程的延续.如求二面角.只有根据推理过程找到二面角后.进行简单的运算.才能求出.因此.求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分12分） 如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．
    （1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．（3）求10点时甲、乙两车的距离．（可能用到的参考数据：，，，）

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    （本小题满分12分） 如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．
    （1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．（3）求10点时甲、乙两车的距离．（可能用到的参考数据：，，，）

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