题型1:异面直线所成的角例1．(1)直三棱住A1B1C1-ABC.∠BCA=.点D1.F1 分别是A1B1.A1C1的中点.BC=CA=CC1.则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) (A——青夏教育精英家教网—

题型1:异面直线所成的角例1．(1)直三棱住A1B1C1-ABC.∠BCA=.点D1.F1 分别是A1B1.A1C1的中点.BC=CA=CC1.则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) (A ) (B) (C) (D) 解析:(1)连结D1F1.则D1F1. ∵BC ∴D1F1 设点E为BC中点.∴D1F1BE.∴BD1∥EF1.∴∠EF1A或其补角即为BD1与AF1所成的角.由余弦定理可求得.故选A. 如图6.已知正方体的棱长为2.点是正方形的中心.点.分别是棱的中点．设点分别是点.在平面内的正投影． (1)求以为顶点.以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积, (2)证明:直线平面, (3)求异面直线所成角的正弦值. 解:(1)依题作点.在平面内的正投影..则.分别为.的中点.连结....则所求为四棱锥的体积.其底面面积为 . 又面..∴. (2)以为坐标原点...所在直线分别作轴.轴.轴.得..又...则... ∴..即.. 又.∴平面. (3)..则.设异面直线所成角为.则. 例2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.点E为棱AB的中点. 求:D1E与平面BC1D所成角的大小解析:建立坐标系如图. 则... ..... ... 不难证明为平面BC1D的法向量. ∵ . ∴ D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为. 点评:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角. 题型2:直线与平面所成的角例3．PA.PB.PC是从P点出发的三条射线.每两条射线的夹角均为.那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 解:构造正方体如图所示.过点C作CO⊥平面PAB.垂足为O.则O为正ΔABP的中心.于是∠CPO为PC与平面PAB所成的角.设PC=a.则PO=.故.即选C. 思维点拨:第(2)题也可利用公式直接求得. 例4．如图.四棱锥的底面是正方形..点E在棱PB上. (Ⅰ)求证:平面 (Ⅱ)当且E为PB的中点时.求AE与平面PDB所成的角的大小. [解法1]本题主要考查直线和平面垂直.平面与平面垂直.直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力.运算能力和推理论证能力． (Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形.∴AC⊥BD. ∵. ∴PD⊥AC.∴AC⊥平面PDB. ∴平面. (Ⅱ)设AC∩BD=O.连接OE. 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O. ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角. ∴O.E分别为DB.PB的中点. ∴OE//PD..又∵. ∴OE⊥底面ABCD.OE⊥AO. 在Rt△AOE中.. ∴.即AE与平面PDB所成的角的大小为. [解法2]如图.以D为原点建立空间直角坐标系. 设则. (Ⅰ)∵. ∴. ∴AC⊥DP.AC⊥DB.∴AC⊥平面PDB. ∴平面. (Ⅱ)当且E为PB的中点时.. 设AC∩BD=O.连接OE. 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O. ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角. ∵. ∴. ∴.即AE与平面PDB所成的角的大小为. 点评:先处理平面的法向量.再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角. 题型3:二面角例5．在四棱锥P-ABCD中.ABCD为正方形.PA⊥平面ABCD.PA＝AB＝a.E为BC中点. (1)求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小, (2)求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小解析:(1)延长AB.DE交于点F.则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱.∵PA⊥平面ABCD.∴AD⊥PA.AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A. 过A作AO⊥PF于O.连结OD.则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角.易得.故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为, 如图∵AD⊥PA.AB, PA∩AB=A. ∴DA⊥平面BPA于A, 同时.BC⊥平面BPA于B. ∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450. 即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°. 解法2 如图:将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN.则PQ⊥PA.PD.于是∠APD是两面所成二面角的平面角. 在Rt△PAD中.PA=AD.则∠APD=45°.即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°. 例6．如图.在直四棱柱ABCD-ABCD中.底面ABCD为等腰梯形.AB//CD.AB=4, BC=CD=2, AA=2, E.E.F分别是棱AD.AA.AB的中点. (1) 证明:直线EE//平面FCC, (2) 求二面角B-FC-C的余弦值. 解法一:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中.取A1B1的中点F1. 连接A1D.C1F1.CF1.因为AB=4, CD=2,且AB//CD. 所以CDA1F1.A1F1CD为平行四边形.所以CF1//A1D. 又因为E.E分别是棱AD.AA的中点.所以EE1//A1D. 所以CF1//EE1.又因为平面FCC.平面FCC. 所以直线EE//平面FCC. (2)因为AB=4, BC=CD=2, .F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, 在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 解法二:(1)因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M, 连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD, 以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系, ,则D,A(,-1,0),F(,1,0),C, C1,E(,,0),E1(,-1,1),所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC. (2),设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, ,, 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. [命题立意]:本题主要考查直棱柱的概念.线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. 如图.四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形.其对角线AC=2.BD=.AE.CF都与平面ABCD垂直.AE=1.CF=2. (I)求二面角B-AF-D的大小, (II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积. 本小题主要考查直线与直线.直线与平面.平面与平面的位置关系.相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识.考查空间想象能力和推理论证能力.利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.本小题满分13分解:连接AC.BD交于菱形的中心O.过O作OGAF. G为垂足.连接BG.DG.由BDAC.BDCF得BD平面ACF.故BDAF. 于是AF平面BGD.所以BGAF.DGAF.BGD为二面角B-AF-D 的平面角. 由. .得. 由.得以A为坐标原点...方向分别为x轴.y轴.z轴的正方向建立空间直角坐标系设平面ABF的法向量.则由得令.得. 同理.可求得平面ADF的法向量. 由知.平面ABF与平面ADF垂直. 二面角B-AF-D的大小等于. (II)连EB.EC.ED.设直线AF与直线CE相交于点H.则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD. 过H作HP⊥平面ABCD.P为垂足因为EA⊥平面ABCD.FC⊥平面ABCD..所以平面ACFE⊥平面ABCD.从而由得. 又因为故四棱锥H-ABCD的体积评析:(1)用法向量的方法处理二面角的问题时.将传统求二面角问题时的三步曲:“找--证--求直接简化成了一步曲:“计算 .这表面似乎谈化了学生的空间想象能力.但实质不然.向量法对学生的空间想象能力要求更高.也更加注重对学生创新能力的培养.体现了教育改革的精神, (2)此法在处理二面角问题时.可能会遇到二面角的具体大小问题.如本题中若取时.会算得.从而所求二面角为.但依题意只为.因为二面角的大小有时为锐角.直角.有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小.然后根据计算取“相等角或取“补角 . (2)解析:球的半径是R=.三点都在球面上.两点和两点的球面距离都是.则∠AOB.∠AOC都等于.AB=AC.两点的球面距离是.∠BOC=.BC=1.过B做BD⊥AO.垂足为D.连接CD.则CD⊥AD.则∠BDC是二面角的平面角.BD=CD=.∴∠BDC=.二面角的大小是.选C. 题型4:异面直线间的距离例7．如图.已知正方体ABCD-棱长为. 求异面直线BD与C的距离．解法一:连结AC交BD的中点O.取的中点M.连结BM交于E.连.则.过E作EF／／OM交OB于F.则. 又斜线的射影为AC.BDAC.. 同理.为BD与的公垂线.由于M为的中点.∽.. .EF／／OM..故OB＝.．解法二．因为BD／／平面.平面.故BD与的距离就是BD到平面的距离由.即.得．解法三．易证平面／／平面.用等体积法易得A到平面的距离为. 同理可知:到平面的距离为.而.故两平面间距离为．解法四．如图.BD／／平面..平面.平面平面＝..故O到平面的距离为斜边上的高. 解法五.如图.在上取一点M.作MEBC于E.过E作ENBD交BD于N.易知MN为BD与的公垂线时.MN最小. 设BE=.CE=ME=.EN=. MN====. 当时.时.. 例8．如图2.正四棱锥的高.底边长.求异面直线和之间的距离? 分析:建立如图所示的直角坐标系.则 . . .. . .. 令向量.且. 则... .. 异面直线和之间的距离为: . 题型5:点面距离例9．如图.在四棱锥中.底面是矩形.平面..．以的中点为球心.为直径的球面交于点． (1)求证:平面⊥平面, (2)求直线与平面所成的角, (3)求点到平面的距离．解:方法(一): (1)证:依题设.M在以BD为直径的球面上.则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD.则PA⊥AB.又AB⊥AD. 所以AB⊥平面PAD.则AB⊥PD.因此有PD⊥平面ABM.所以平面ABM⊥平面PCD. (2)设平面ABM与PC交于点N.因为AB∥CD.所以AB∥平面PCD.则AB∥MN∥CD. 由(1)知.PD⊥平面ABM.则MN是PN在平面ABM上的射影. 所以就是与平面所成的角. 且所求角为 (3)因为O是BD的中点.则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半.由(1)知.PD⊥平面ABM于M.则|DM|就是D点到平面ABM距离. 因为在Rt△PAD中...所以为中点..则O点到平面ABM的距离等于. 方法二: (1)同方法一, (2)如图所示.建立空间直角坐标系.则... ... 设平面的一个法向量.由可得:.令.则.即.设所求角为.则. 所求角的大小为 (3)设所求距离为.由.得:15. 在四棱锥中.底面是矩形.平面... 以的中点为球心.为直径的球面交于点.交于点. (1)求证:平面⊥平面, (2)求直线与平面所成的角的大小, (3)求点到平面的距离. 解: 方法一:(1)依题设知.AC是所作球面的直径.则AM⊥MC. 又因为P A⊥平面ABCD.则PA⊥CD.又CD⊥AD. 所以CD⊥平面PAD.则CD⊥AM.所以A M⊥平面PCD. 所以平面ABM⊥平面PCD. 知..又.则是的中点可得 . 则设D到平面ACM的距离为.由即. 可求得. 设所求角为.则.. (1) 可求得PC=6.因为AN⊥NC.由.得PN.所以. 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的. 又因为M是PD的中点.则P.D到平面ACM的距离相等.由(2)可知所求距离为. 方法二: (1)同方法一, (2)如图所示.建立空间直角坐标系.则... ..,设平面的一个法向量.由可得:.令.则 .设所求角为.则. 所以所求角的大小为. (3)由条件可得..在中.,所以,则, .所以所求距离等于点到平面距离的.设点到平面距离为则.所以所求距离为. 思维点拔:注意点距.线面距.面面距的转化.利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法. 例10 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和⊙C₂：（x-5）²+（y-1）²=4
（1）若直线l过点O（0，0），且被⊙C₁截得的弦长为2

，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：过点P的任意互相垂直的直线l₁和l₂，只要l₁和l₂与⊙C₁和⊙C₂分别相交，必有直线l₁被⊙C₁截得的弦长与直线l₂被⊙C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标；
（3）将（2）的直线l₁和l₂互相垂直改为直线l₁和l₂所成的角为60°，其余条件不变，直接写出所有这样的点P的坐标．（直线与直线所成的角与两条异面直线所成的角类似，只取较小的角度．）

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已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下面结论中正确的个数为（　　）
①M∩N∩P=(0，

]
②M∪N∪P=[0，π]
③(M∩N)∪P=[0，

]
④(M∪N)∩P=(0，

)．

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

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（2009宁夏海南卷理）如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是