练习册

  • 练习册
  • 试题
    函数的基本概念 一个函数由它的自变量允许取值的范围和对应关系所确定.并由此确定了函数值的变化范围.定义域.对应关系.值域称为函数的三要素. (1)求函数的定义域 例1已知函数 求自变量取值范围. 解 -2＜x＜-1.或-1＜x＜0.或0＜x＜2.或2＜x≤3.或者写成-2＜x≤3.且x≠0.2. 例2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数y=f(x)的定义域为［0.1］.试求f的定义域. 解 由 若0＜a＜时,x∈[a,1-a]; 若a＞时,函数关系不存在. (2)关于对应法则 若把自变量比作将要加工的原料.那么对应法则f就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面. 例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式.对所有实数x.f=x4+5x2+3.对所有实数x.求f. 分析 若能找到函数的对应法则f.即自变量是怎样“加工处理 的.此题易解.下面给出两种解法. ①配凑法:f=x4+5x2+3 =-1. ∴f(x)=x2+3x-1. ∴f-1 =x4+x2-3. ②换元法 令 x2+1=t.则x2=t-1. 由f=x4+5x2+3有 f+1=t2+3t-1 ∴f-1 =x4+x2-3. 例4 (1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f满足等式f=2x·x2.求a+b+c的值. 解=2x=2x+1［a+c］ =2·2x［+2ax+a+b］ =2f 由f=2x·x2有 2x+2·2x［2ax+a+b］=2x·x2. 在上式中. 令x=0得 2a+2b+c=0,① 令x=1得 7a+3b+c=0,② 令x=2得 14a+4b+c=0.③ 由①.②.③解出 a=1.b=-4.c=6. ∴ a+b+c=3. (3)关于函数方程 这个问题是前一个问题的继续.我们把含有未知函数的等式叫函数方程.把寻求未知数的过程.或证明函数方程无解叫解函数方程. 例5 对于一切实数x.y.函数满足f.且f和f=f.取y=0.得f=f≠0.∴f=f=1. 例6 (第32届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在x=0处没有定义.但对所有非零实数x有f=f恰有一个 不存在 (D)有无穷多个.但并非一切非零实数 (E)是一非零实数 解 f(x)+2f=3x.① 以换x得 f+2f(x)= ② 由①.②两式消去f得3f= -x.③ 又由f.将③代入得 -x=+x. 即 -2x=0.2-x2=0. ∴x=±.故应选求函数值 例7 f(x)=1986. 求f［-1］. 解 设,则2t+1=, 即2t2+2t=55. ∴2t5+2t4-53t3-57t+54 =t3-53t3-57t+54 =2t3+2t2-2t2-57t+54 =55t-2t2-57t+54 =-2t2-2t+54=-1. ∴f1986=1. 2.正比便函数.反比便函数及一次函数 例8 (1987年浙江省初中竞赛题)已知y=y1+.其中y1与x成正比例.y2与x成反比例.且当x=2和x=3时.y的值都为19.求y与变量x的函数关系式. 解 设y1=k1x.y2=. 则 y=y1+=k1x+. 将x=2.x=3代入y=y1+得 ∴ y=5x+ 例9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数y=ax+b有一组对应值x=,y=0.试证y=ax+b不能有二组以上的有理数的对应值. 证明 若y=ax+b存在两组不同的有理数对应值.而函数式为y=a(x-). 故 ∵a≠0.消去a可得=x1y2-x2y1. ∵x1y2-x2y1是有理数. ∴y2-y1=0.即y1=y2. ∴x1y1-x2y1=0. 即y1=0. 若y1=0.则x1=.但这与假设矛盾.故不可能. ∴y1≠0.从而x1=x2也不可能. ∴y=ax+b不能有两组以上的有理数的对应值. 3.二次函数 关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题. 例10(1987年浙江初中数学竞赛题)设二次函数y=.其中a.b.c是三角形的三边.且b≥a,b≥c.已知x=-这个二次函数有最小值为-.求△ABC三内角A.B.C的度数. 解散 由题设.二次函数图象的顶点坐标是 . 于是 ①② 由①得a+b=2c. 代入②得=0. ∵b≥a,b≥cb-c=0,b-a=0, 即 a=b=c.△ABC为正三角形,A=B=C=60°. 例11 (1989年全国初中数学竞赛题)如图31-1,△ABC中,D.E分别是边BC.AB上的点.且∠1=∠2=∠3,如果△ABC,△EBD,△ADC的周长依次为m,m1,m2,证明: 证明 由已知可得DE∥AC.进而 △EBD∽△ABC∽△DAC. ① ∴② ③ ∴ 于是有 在这里,我们是将看成关于的二次函数,利用配方法来处理的. 4.其它 下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题. 例12 (1978年日本半桥技术科学大学入学题)在边长为a的正三角形中,设点P.Q.R在边BC,CA,AB上运动,并保持的关系,设.△PQR的面积为S. 求S的最大值, (3)求S取最大值时...的值. 解(1)S=S△ABC-. ∵S△ABC=a2. S△AQR=z. 同样S△BRP=x·. ∴S=a2-[z] =a2-a =a2-a2+ =. ① (2)将z=a-x-y代入①消去z得 S=[+xy] =-[x2+ ≤ 当x+时.上式取等号. 即x=y=z=时.Smax=a2. .当S取最大值时.x=y=z=. 在△CPQ内.CQ=.CP=.由余弦定理得 最后.我们把视线转向分段函数的极值问题. 例13(1968-1969年波兰竞赛题)已知两两互异的实数a­1.a2.-.an.求由式子y=|x-a1|+|x-a2|+-+|x-an|所定义的函数的最小值. 解 我们首先研究一个简单的事实: 设a＜b.则 u=|x-a|+|x-b|= u在a≤x≤b上每一点达到最小值: -a+b. ① 下面我们来研究原命题:对a1,a2,-.an重新按从小到大排序为a1′,a2′,-an′. 于是.当n为偶数.即n=2m时.将原函数重新记为 y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1| +-+|x-am′|+|x-a′m+1). 令y=|x-a′i|+|x-a′n+1-i|,由①,它在ai≤x≤an+i上取最小值-ai+an+1-i. 又∵每一个区间都包含着下一个区间.即[a1,an] [a2,an-1]-[am.am-1](“ 读作包含.如AB.读作A包含B).因此它们的公共区间为[am.am+1].由于在区间[am.am+1]每点上所有yi都取常数最小值.为了方便令x=am或x=am+1于是 y最小值=-a1+an-a2+an-1+--am+am+1 =-a1-a2---am+am+1+am+2+-+an. 当n为奇数时.将原函数记为 y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|) +-++|x-a′m+1|. 类似上面的讨论.当x=am+1时. y最小值=-a1-a2---am+am+2+am+3+-+an. 练习三十一 1.选择题 (1)(1989年全国初中数学竞赛题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.则下列6个代数式ab.ac.a+b+c.a-b+c.2a+b.2a-b中.其值为正的式子的个数为3个 4个以上 (2)曲线|y|=x2-1的图象大致形状是若则下列等式正确的是=-1-F=F=-x 2.填空题 (1)x.y为实数..则x+xy+x2y的值是 . (2)(据1990年全国初中竞赛题改)方程7x2-x+k2-k-2=0有两个实根α.β,且0＜α＜1,1＜β＜2,那么k的取值范围是 . 3.已知f=1. 求的值. 4.已知函数y=|x-1|+|x-3|+.试求使y值恒等于常数的x值范围. 5.已知f≤-1,-1≤f的范围. 6.已知0≤x≤1,0≤y≤1,y-x≥,且x+y+z=1,求函数W=2x+5y+4z的最大.最小值. 7.二次函数f(x)=ax2+bx+c其中a≠0,且a.b.c为实数.对某一常数t.如有af有不同的两个实数根.其中一个实根比t小.另一实根比t大. 8.函数f(x)对一切实数x满足f.若方程f(x)=0恰有三个不同的实根.求这些实根的和是多少? 9.(1985年江苏东台初中数学竞赛题)若z2-2mz+m+6=0的二实数根为a.b.试求2的最小值. 10.(1983年重庆初中数学竞赛题)等边△ABC的边长为a有三个动点P.Q.R分别同时从A.B.C出发沿AB.BC.CA按逆时针方向以各自的速度作匀速直线运动.已知P点由A到B需1秒.Q点从B到C需2秒.R点由C到A需3秒.在一秒钟内.问开始运动多少时间△PQR的面积最小?最小面积是多少?) 11.(1985年苏州初中数学竞赛题)如图,凸四边形ABCD边长依次为2.2.3.1.问在四边形ABCD变形为各种凸四边形的过程中,BD的长的变化范围是什么?B到DC距离的变化范围又是什么? 练习三十一 1．A． D． A． 2． 3． 4．当 5．①②得-1 6．由z=1-x-y,∴W=4-2x+y．要求W的最大.最小值.只需求y-2x的最大.最小值．设P(x,y)是坐标适合条件的点.则P在以为顶点的内．设t=y-2x,则y=2x+t.由t的几何意义W最大值＝5W最小值＝4． 7．先证 .∈∈8．四个根之和为16． 9．先由 10． ∈11．如图(a)BD最大时.B.A.D在一直线上.BD＝3. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    给出封闭函数的定义：若对于定义域内任意一个自变量x都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．若定义域D=（0，1），则下列函数为封闭函数的是（　　）
    ①f1（x）=4x-1  ②f2（x）=-
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x+1  ③f3（x）=x+
    1
    x
      ④f4（x）=x
    1
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    给出封闭函数的定义：若对于定义域内任意一个自变量x都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．若定义域D=（0，1），则下列函数为封闭函数的是（　　）
    ①f1（x）=4x-1  ②f2（x）=-
    1
    2
    x2-
    1
    2
    x+1  ③f3（x）=x+
    1
    x
      ④f4（x）=x
    1
    2
    ．
    A．①②B．③④C．①③D．②④

    查看答案和解析>>

    给出四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因f(x)=5这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)=5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定．正确的有

    [　　]

    A．1个
    B．2个
    C．3个
    D．4个

    查看答案和解析>>

    判断题(正确的打T，错误的打F)

    (1)周期函数的定义域可以是有限集．

    (　　)

    (2)周期函数的周期有唯一一个．

    (　　)

    (3)“f(x＋T)”=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值．

    (　　)

    (4)周期函数的周期T可正，可负．

    (　　)

    查看答案和解析>>

    判断题(正确的打T，错误的打F)

    (1)周期函数的定义域可以是有限集．

    (　　)

    (2)周期函数的周期有唯一一个．

    (　　)

    (3)“f(x＋T)”=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值．

    (　　)

    (4)周期函数的周期T可正，可负．

    (　　)

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案