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    1． 绝对值 例1 设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|.其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说.T的最小值是多少? 解由已知条件可得 T==30-x. ∵当p≤x≤15时.上式中在x取最大值时T最小,当x=15时.T=30-15=15.故T的最小值是15. 例2 若两数绝对值之和等于绝对值之积.且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间. 证 设两数为a.b.则|a|+|b|=|a||b|. ∴|b|=|a||b|-|a|=|a|. ∵ab≠0.∴|a|＞0.|b|＞0. ∴|b|-1=＞0.∴|b|＞1. 同理可证|a|＞1. ∴a.b都不在-1与1之间. 例3 设a.b是实数.证明 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 证明 当|a|-|b|≤0时.|a|-|b|≤|a+b|成立. 当|a|-|b|＞0时.由于 2-|a+b|2 =- =-2≤0. ∴|a|-|b|≤|a+b|. 同理可证|a+b|≤|a|+|b|. 2． 根式 在根式进行化简.求值和证明的过程中.常采用配方法.乘方法.比较系数法.设参法.公式法等等.现举例如下: (1) 配方法:将二次根号内的式子配成完全平方式.将三次根号下的式子配成完全立方式. 例4 设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值. 解 =4-=2+(2-), 故x=2,y=2-, ∴x+y+ =4-+2+=6. 例5 化简 解 原式= =|x+3|+|x-1|-|x-2|. 令x+3=0.x-1=0.x-2=0.得x=-3.x=1.x=2.这些点把数轴划分成四个部分: 当x＜-3时 原式=-=-x-4, 当-3≤x＜1时. 原式==x+2, 当1≤x≤2时. 原式==3x, 当x＞2时. 原式==x+4. 说明:将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论.是解这类问题的一般技巧. 例6 化简. 解 原式= = = ∵a＞＞0. ∴a2＞2b2. ∴原式= 例7 求证: 证明:∵ = ∴原式=4. (2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号 例8 已知求证: 3=27xyz. 证明:∵ ∴ 两边立方 x+y+ 即 再边再立方得3=27xyz. 例9 已知 求证 证明 设则 即 同理可设则 ∴A+B= = = 由 A+B=a. 得 ∴ (2) 比较系数法 例10 求满足条件的自然数a.x.y. 解 将等式两边平方得 ∵x.y.a都是自然数. ∴只能是无理数.否则与等式左边是无理数相矛盾. ∴x+y=a.xy=6. 由条件可知 x＞y且x.y是自然数. 当x=6时.y=1.得a=7. 当x=3时.y=2.得a=5. 故x=6,y=1,a=7. 或x=3,y=2,a=5. 例11 化简 分析 被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的. 解 设 =, 两边平方得 13+2 =x+y+z+2 比较系数,得 ①②③④ 由②有.代入③.得代入④.得y2=52.∴y=5. ∴=1. ∴原式=1+ (4)设参法 例12 设(a1.a2.-.an.b1.b2.-.bn都是正数).求证: = 证明 设 且a1=b1k,a2=b2k,-.an=bnk. 左边= = 右边= · = ∴左边=右边 (5)公式法.代数变换及其他 例13 已知x=求x3+12x的值. 解 由公式可得 · =8-3 =8-12x. ∴x3+12x=8. 例14 设 求x4+y4+(x+y)4. 解 由条件知 ∴x+y=5.xy=1. ∴原式=4 =[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+2-2+54 =1152. 例15 对于a∈R.确定的所有可能的值. 解 记y=. ① 先假定a≥0.这时y≥0.把①两边平方得 ② 即 ③ 再平方.整理后得 ④ 从而 ≥0. 由②知 y2＜2a2+2-2=2. 再由⑤知 y2≤1.∴0≤y＜1. 反过来,对于[0,1]中的每一个y值,由⑤可以定出a.并且这时2a2+2-y2＞0.故可由⑤逆推出②和①.因而在a≥0时.的值域为(0.1). 同样在a＜0时.的值域为.综上的值域是. 练习十七 1． 选择题 (1)若实数x满足方程|1-x|=1+|x|.那么等于±方程x|x|-5|x|+6=0的最大根和最小根的积为-3 已知最简根式与是同类根式.则满足条件的a.b的值有一组 多于二组 2． 空题 (1) 已知|x-8y|+2+则x+y+z= . (2) 若a＞b＞c＞0.l1=乘积中最小的一个是 . (3) 已知0＜x＜1.化简 (北京市1989年高一数学竞赛题)设x是实数.且f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f(x)的最小值等于 . 3.化简. 4.已知ab＜0.a2+b2=a2b2.化简 5．如果x＞0.y＞0.且试求的值. 6．(第8届美国教学邀请赛试题) 求的值. 7．求适合下列各式的x.y, (1)若x.y为有理数.且 (2)若x.y为整数. 8．已知求证a2+b2=1. 9．已知A=求证 11＜A3-B3＜12＜A3+B3＜13. 10．(1985年武汉初二数学竞赛题)已知其中a.b都是正数. (1) 当b取什么样的值时.的值恰好为b? (2) 当b取什么样的值时.的值恰好为? 练习十七 1.略 2．a2-2 (5)6. 3．当时.y＝a.当x＞2a2时.y＝ 4．∵ab＜0.∴|ab|＝-ab.若a＞0＞b.原式＝-ab,若a＜0＜b.原式＝ab． 5．原式＝2． 6．原式＝828． 7．x＝22.y＝2,x＝-22.y＝-2． 8．由条件知两边平方后整理得再平方得1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0即1-22=0,[1-]2=0,∴a2+b2=1. 9.∵A2+B2=6,AB=2,∴(A+B)2=1,A+B=,A-B=,∴A3-B3== 8．当b≥0时.原式值为b. 当0＜b＜1时.原式值为 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    经过点A（1，2），并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有（　　）

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    过P（4，-3）且在坐标轴上截距绝对值相等的直线有（　　）

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    若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组，得到如下频率分布表：

    分组

    频数

    频率

    [-3, -2)

    　

    0.10

    [-2, -1)

    8

    　

    （1,2]

    　

    0.50

    （2,3]

    10

    　

    （3,4]

    　

    　

    合计

    50

    1．00

    （Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；

    （Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；

    （Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。

    【解析】（Ⅰ）

    分组

    频数

    频率

    [-3, -2)

    　5

    0.10

    [-2, -1)

    8

    0.16　

    （1,2]

    　25

    0.50

    （2,3]

    10

    0.2

    （3,4]

    　2

    0.04

    合计

    50

    1．00

    （Ⅱ）根据频率分布表可知，落在区间（1,3]内频数为35，故所求概率为0.7.

    （Ⅲ）由题可知不合格的概率为0.01，故可求得这批产品总共有2000，故合格的产品有1980件。

     

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    从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)

    (A) (B) (C) (D)

     

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    以下四个命题中：

    ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

    ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

    ③在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为0.8 ；

    ④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．

    其中真命题的个数为(　　)

    A．1  　B．2    C．3  　　D．4

     

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