如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-AB-CD，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD且PA=AB，点E是PD的中点.

(1)求证：AC⊥PB；

(2)求证：PB∥平面AEC.

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-AB-CD，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD且PA=AB，点E是PD的中点.

(1)求证：AC⊥PB；

(2)求证：PB∥平面AEC.

如图,已知两个正四棱锥P—AB—CD与Q—ABCD的高分别为1和2，AB=4.

(1)证明PQ⊥平面ABCD;

(2)求异面直线AQ和PB所成的角;

(3)求点P到平面QAD的距离.

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

 

【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）证明：易得，于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量，

则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值为.

（3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.