题目列表(包括答案和解析)
给定函数f(x)：对任意m∈Z，当x∈(2m－1，2m]时，f(x)＝2m－x．给出如下结论：①函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；②函数f(x)的值域为[0，＋∞)；③方程f(x)－kx＝0有解的充要条件是k∈(0，1)；④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得(a，b)
(2k，2k+1)”．⑤当x∈(0，＋∞)时，恒有f(2x)＝2f(x)成立；⑥若数列{an}满足：an＝f(2n＋1)，则数列{an}的前n项和为Sn＝2n+1－n－2．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
已知函数
的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？说明理由.
【解析】第一问当
时，
，则
。
依题意得：
，即
解得
第二问当
时，
，令
得
，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值
第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设
，则
，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
（Ⅰ）当时，，则。
依题意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①当时，，令得
当
变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值为2.
②当
时, 
.当
时, 
,最大值为0；
当
时, 在
上单调递增。∴在最大值为
。
综上，当
时，即
时，在区间上的最大值为2；
当
时，即
时，在区间上的最大值为。
（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设，则，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
若
，则
代入（*）式得：
即
，而此方程无解，因此
。此时
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，则
∴
在
上单调递增， ∵ ∴
,∴
的取值范围是
。
∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。
因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上
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单调递减