若a₁≤a₂≤…≤a_n，而b₁≥b₂≥…≥b_n或a₁≥a₂≥…≥a_n而b₁≤b₂≤…≤b_n，证明：

a1b1+a2b2+…+anbn

n

≤（

a1+a2+…+an

n

）•（

b1+b2+…+bn

n

）．当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号成立．

（2008•奉贤区一模）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，

x+y

2

∈D均满足f(

x+y

2

)≥

1

2

[f(x)+f(y)]，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）设函数g（x）=-x²，求证：g（x）∈M．
（3）已知函数f（x）=log₂x∈M．试利用此结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

（1）已知a，b，x，y是正实数，求证：

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，当且仅当

a

x

=

b

y

时等号成立；
（2）求函数f(x)=

1

3-tan2x

+

9

8+sec2x

的最小值，并指出取最小值时x的值．