(2007上海，21)我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中，a＞0，b＞c＞0．如下图，点是相应椭圆的焦点，分别是“果圆”与x、y轴的交点．

(1)若△是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

(2)当时，求的取值范围；

(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由．

图6

我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a²=b²+c²,a＞0,b＞c＞0.

如图6,点F₀、F₁、F₂是相应椭圆的焦点,A₁、A₂和B₁、B₂分别是“果圆”与x、y轴的交点.〔(文)M是线段A₁A₂的中点〕

(1)(理)若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.

(2)(理)当|A₁A₂|＞|B₁B₂|时,求的取值范围.

(文)设P是“果圆”的半椭圆=1(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点B₁、B₂或A₁处.

(3)(理)连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数k,使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,请说明理由.

(文)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标.