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    3．解:(Ⅰ)以点为坐标原点建立空间直角坐标系.则....则.．设.则. 又设.则. 从而.即． 又.所以是异面直线与的公垂线． 设.则．因四棱锥的体积为 ． 而直三棱柱的体积为． 由已知条件.故.解得.即． 从而..． 由.有.即 (1) 又由得． (2) 联立.解得..即.得． 故． (Ⅱ)由.得..过作.垂足为.连接. 设.则.因为.故---① 因且得.即----② 联立①②解得..即． 则.． ． 又.故.因此为所求二面角的平面角．又.从而.故.为直角三角形.所以． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC中点，以A为原点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题
    （1）证明：直线BD⊥OC
    （2）证明：直线MN∥平面OCD
    （3）求异面直线AB与OC所成角的余弦值．

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    如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC中点，以A为原点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题
    （1）证明：直线BD⊥OC
    （2）证明：直线MN∥平面OCD
    （3）求异面直线AB与OC所成角的余弦值．

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    如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：

    （Ⅰ）异面直线与的距离；

    （Ⅱ）二面角的平面角的正切值.

    【解析】第一问中，利用建立空间直角坐标系

    解：（I）以B为原点，、分别为Y,Z轴建立空间直角坐标系.由于，

    在三棱柱中有

    ,

    设

    又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，则，故异面直线的距离为1.

    （II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量与的夹角.

     

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    如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．

    （1）求证：平面；

    （2）求二面角的大小．

    【解析】第一问利用线面垂直的判定定理和建立空间直角坐标系得到法向量来表示二面角的。

    第二问中，以A为原点，如图所示建立直角坐标系

    ，，

    设平面FAE法向量为，则

    ，，

     

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    如图，在长方体AC1中，，点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心．以D为坐标原点，DA、DC、DD1所为直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：
    （1）求异面直线AF和BE所成的角；
    （2）求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．

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