设,分别是椭圆E:+=1的左.右焦点.过的直线与E相交于A.B两点.且..成等差数列. (Ⅰ)求 (Ⅱ)若直线的斜率为1.求b的值. 解: (1)由椭圆定义知又 (2)L的方程——青夏教育精英家教网—

设,分别是椭圆E:+=1的左.右焦点.过的直线与E相交于A.B两点.且..成等差数列. (Ⅰ)求 (Ⅱ)若直线的斜率为1.求b的值. 解: (1)由椭圆定义知又 (2)L的方程式为y=x+c,其中设,则A.B 两点坐标满足方程组化简得则因为直线AB的斜率为1.所以即 . 则解得 . 12如图.已知椭圆的离心率为.以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1.F2为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点.设 P为该双曲线上异于顶点的任一点.直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A.B和C.D. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程 (Ⅱ)设直线PF1.PF2的斜率分别为k1.k2. 证明:k1·k2=1 (Ⅲ)是否存在常数.使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD| 恒成立?若存在.求的值.若不存在.请说明理由. [解析](Ⅰ)由题意知.椭圆离心率为.得.又.所以可解得..所以.所以椭圆的标准方程为,所以椭圆的焦点坐标为(.0).因为双曲线为等轴双曲线.且顶点是该椭圆的焦点.所以该双曲线的标准方程为. (Ⅱ)设点P(.).则=.=.所以= .又点P(.)在双曲线上.所以有.即.所以 =1. (Ⅲ)假设存在常数.使得恒成立.则由(Ⅱ)知.所以设直线AB的方程为.则直线CD的方程为. 由方程组消y得:.设.. 则由韦达定理得: 所以|AB|==.同理可得 |CD|===. 又因为.所以有=+ =.所以存在常数.使得恒成立. [命题意图]本题考查了椭圆的定义.离心率.椭圆与双曲线的标准方程.直线与圆锥曲线的位置关系.是一道综合性的试题.考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题(3)是一个开放性问题.考查了同学们观察.推理以及创造性地分析问题.解决问题的能力. 本小题主要考查椭圆.双曲线的基本概念和基本性质.考查直线和椭圆的位置关系.考查坐标化.定值和存在性问题.考查数行结合思想和探求问题的能力. 解(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c.由题意知:.2a+2c=4(+1)所以a=2.c=2. 又=.因此b=2.故椭圆的标准方程为由题意设等轴双曲线的标准方程为.因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点.所以m=2. 因此双曲线的标准方程为 (Ⅱ)设A(.).B().P().则=.. 因为点P在双曲线上.所以. 因此.即同理可得. 则 . 又 .所以 . 故因此存在.使恒成立. 【查看更多】

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设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。