已知函数f（x）=

1

2

+ln

x

1-x

．
（1）求证：存在定点M，使得函数f（x）图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上，并求出点M的坐标；
（2）根据（1）的对称性质，定义S_n=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

），其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁．

已知函数f(x)=

1

2

+ln

x

1-x

．
（Ⅰ）求证：存在定点M，使得函数f（x）图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上，并求出点M的坐标；
（Ⅱ）定义Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₂；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，求证：对于任意n∈N^*都有lnSn+2-lnSn+1＞

1

n2

-

1

n3

．

已知函数f（x）=e^x-a，g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）求使f（x）≥g（x）在x∈（-1，+∞）上恒成立的a的最大值；
（Ⅱ）若0≤x₁＜x₂，求证ex2-x1-1＞ln

x2+1

x1+1

（Ⅲ）证明：e＞In(n+1)

1

n

+1，其中n∈N^*．

已知函数f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜2）．
（1）是否存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）定义Sn=

2n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

2n-1

n

)，其中n∈N^*，求S₂₀₁₃；
（3）在（2）的条件下，令S_n+1=2a_n，若不等式2an•(an)m＞1对?n∈N^*且n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜2）．
（1）试问f（x）+f（2-x）的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是请，说明理由；
（2）定义Sn=

2n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

2n-1

n

)，其中n∈N^*，求S₂₀₁₃；
（3）在（2）的条件下，令S_n+1=2a_n，若不等式2an•(an)m＞1对?n∈N^*且n≥2恒成立，求实数m的取值范围．