(二)主要方法: 1．判断函数的奇偶性.首先要研究函数的定义域.有时还要对函数式化简整理.但必须注意使定义域不受影响, 2．牢记奇偶函数的图象特征.有助于判断函数的奇偶性, 3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:.． 4．设.的定义域分别是.那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇.奇奇=偶.偶+偶=偶.偶偶=偶.奇偶=奇． 5．注意数形结合思想的应用．【查看更多】

对于定义域为[0，1]的函数f（x）如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2成立．则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断函数g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
（2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
（3）某同学发现：当x=

1

2n

（n∈N）时，有f（

1

2n

）≤

1

2n

+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．

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我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)+f(x2)

2

=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：

是

．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：

2

．
（2）请先学习下面的证明方法：
证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，

3

2

是其“和谐数”．
证明过程如下：对任意x₁∈[10，100]，令

g(x1)+g(x2)

2

=

3

2

，即

lgx1+lgx2

2

=

3

2

，
得x2=

1000

x1

．∵x₁∈[10，100]，∴x2=

1000

x1

∈[10，100]．即对任意x₁∈[10，100]，存在唯一的x2=

1000

x1

∈[10，100]，使得

g(x)+g(x2)

2

=

3

2

．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，

3

2

是其“和谐数”．
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2^x，x∈（1，3）为“和谐函数”；
（3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明．

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对于定义域为[0，1]的函数f（x）如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2成立．则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断函数g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
（2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
（3）某同学发现：当x= $数学公式$ （n∈N）时，有f（ $数学公式$ ）≤ $数学公式$ +2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．

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对于定义域为[0，1]的函数f（x）如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2成立．则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断函数g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
（2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
（3）某同学发现：当x=

（n∈N）时，有f（

）≤

+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．

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已知f（x）=2^x+

1

2x

（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）判断函数在（-∞，0）内的单调性并证明．

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