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    例1．设函数内为奇函数且可导.证明: 内的偶函数. 证明:对任意 由于为奇函数.. 于是. 因此即内的偶函数. 例2．已知函数处取得极值.并且它 的图象与直线在点(1.0)处相切.求a.b.c的值. 解:由曲线过(1.0)得① 又+b 则 ② ③ 解①②③得. 例3．已知有极大值和极小值. (1)求+的值, (2)设曲线的极值点为A.B.求证:线段AB的中点在上. 解:(1).由于有极大值和极小值. .的两根.则 (2)设,由 知AB的中点在上. 例4．设函数的驻点是0和4. (1)求常数k的值, (2)确定函数的单调区间, (3)求的极值. 解:(1).由于驻点是0和4.∴0和4是方程的两根.可求得 可知.∴当为增函数.为减函数, 可判断极大值为极小值为 例5．求证:. 证明:(1)当时.=1.=1.命题成立, (2)当>0时.令.则>0 在(0.)上为增函数 >0.> 即>0 >, (3)当<0时.令.则<0 在()上为减函数 <0.> 即>0 > 综合以上情况.. 例6．已知函数问是否存在实数a.b使f(x)在[-1.2]上取得最大值3.最小值-29.若存在.求出a.b的值.并指出函数的单调区间 . 若不存在.请说明理由 . 解:(舍) (1)a>0时.如下表 x 0 (0.2) + 0 - 最大值3 ∴当x=0时.取得最大值. ∴b=3, (2)a<0时.如下表 x 0 (0.2) - 0 + 最小值-29 ∴当x=0时.取得最小值. ∴b=-29 又f(2)=-16a-29, f(-1)=-7a-29<f(2) ∴当x=2时, 取得最大值.∴-16a-29=3. a=-2. 综上:a=2, b=3 或a=-2, b=-29. 例7．(2003年普通高等学校招生全国统一考试 设.求函数的单调区间. 分析:本例主要考查导数的概念和计算.应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解:. 当时 . (i)当时.对所有.有. 即.此时在内单调递增. (ii)当时.对.有. 即.此时在(0.1)内单调递增.又知函数在x=1处连续.因此.函数在(0.+)内单调递增 (iii)当时.令.即. 解得. 因此.函数在区间内单调递增.在区间内也单调递增. 令. 解得. 因此.函数在区间内单调递减. 例8．⑴ 设≤1.求一个正常数a.使得x≤. ⑵ 设≤1..求证:≤. 解:⑴ x≤可化为≥0.令=. .由得. =3a-2≥0.=-3a+4≥0.∴≤≤. ① ∴∈[-1.1].≥0.即≥ ② 由①.②得.. 从而当≤1时.=≥0.即x≤. ⑵ 由⑴知.对≤1.有≤. 将这n个式子求和.得≤. 例9．从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边为x的正方形.再将四边向上折起.做成一个无盖的长方形铁盒.要求长方体的高度与底面边的比值不超过常数t.试问当x取何值时.容量V有最大值. 解:= 函数V()=的定义域为 令=0 得 (1)当.即时.时.＞0 ．V()为增函数, 时.＜0 ．V()为减函数, V()在上有极大值V(). 为唯一驻点.当时. 有最大值. (2)当.即时.时.＞0恒成立, V()为增函数,当时. 有最大值. 例10．某银行准备新设一种定期存款业务.经预测.存款量与利率的平方成正比.比例系数为K.贷款的利率为4.8%.又银行吸收的存款能全部放贷出去.(1)若存款的利率为x,x.试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h存款利率定为多少时.银行可获得最大收益? 解:=Kx2,银行应支付的利息 h= Kx3 (2)设银行可获收益为y,则y=0.048·Kx2–Kx3 y /=K·0.096x–3 Kx2 令y /=0 即K×0.096x–3 Kx2=0 解得x=0 或x=0.032 又当x时.y />0, x时, y /<0 y在内单调递增.在 单调递减 故当x=0.032时.y在内取得极大值.亦即最大值 答:存款利率为3.2%时.银行可获得最大收益 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设函数f（x）在区间（-a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：f′（x）是（-a，a）内的偶函数．

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    设函数f（x）在区间（-a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：f′（x）是（-a，a）内的偶函数．

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    设函数f（x）在区间（-a，a）（a＞0）内为奇函数且可导，证明：f′（x）是（-a，a）内的偶函数．

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