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    11．设函数f(x)＝-x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1)． (1)求函数f(x)的单调区间.并求函数f(x)的极大值和极小值, (2)当x∈[a+1.a+2]时.不等式|f′(x)|≤a.求a的取值范围． 解 (1)∵f′(x)＝-x2+4ax-3a2＝-(x-3a)(x-a). 由f′(x)>0得:a<x<3a. 由f′(x)<0得:x<a或x>3a. 则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a). 单调递减区间为(-∞.a)和(3a.+∞)． 列表如下: x (-∞.a) a (a,3a) 3a (3a.+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ? -a3+b ? b ? ∴函数f(x)的极大值为b.极小值为-a3+b. (2)∵f′(x)＝-x2+4ax-3a2＝-(x-2a)2+a2. ∴f′(x)在[a+1.a+2]上单调递减. ∴f′(x)max＝f′(a+1)＝2a-1. f′(x)min＝f′(a+2)＝4a-4. ∵不等式|f′(x)|≤a恒成立. ∴.解得:≤a≤1. 又0<a<1.∴≤a<1. 即a的取值范围是≤a<1. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设函数f(x)=-
    1
    3
    x3+
    1
    2
    x2+2ax    ，当0＜a＜2时，有f（x）在x∈[1，4]上的最小值为-
    16
    3
    ，则f（x）在该区间上的最大小值是
    10
    3
    10
    3
    ．

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    设函数f(x)=-
    13
    x3+ax2-2ax-2    （a为常数），且f（x）在[1，2]上单调递减．
    （1）求实数a的取值范围；
    （2）当a取得最大值时，关于x的方程f（x）=x2-7x-m有3个不同的根，求实数m的取值范围．

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    设函数f（x）=2ax-bx2+lnx．给出下列条件，条件A：f（x）在x=1 和x=
    1
    2
    处取得极值；条件B：b=a
    （Ⅰ）在A条件下，求出实数a，b的值；
    （Ⅱ） 在A条件下，对于在[
    1
    e
    ，3    ]上的任意x0，不等式f（x0）-c≤0恒成立，求实数c的最小值；
    （Ⅲ） 在B条件下，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

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    函数f(x)=loga(x3-2ax+2a-1)(a＞0，a≠1)在区间(-
    1
    2
    ，0)    内单调递增，则a的取值范围（　　）

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    设函数f（x）=2ax-
    b
    x
    +lnx
    （Ⅰ）若f（x）在x=1，x=
    1
    2
    处取得极值，
        （i）求a、b的值；
        （ii）在[
    1
    4
    ，2]    存在x0，使得不等式f（x0）-c≤0成立，求c最小值
    （Ⅱ）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．（参考数据e2≈7.389，e3≈20.08）

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