设数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{aⁿ+2ⁿ}是等比数列
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中项
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式2Sn-4200＞

a 2 n

2

恒成立，试问：这样的正整数m共有多少个．

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中项
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式2Sn-4200＞

a 2n

2

恒成立，试问：这样的正整数m共有多少个．