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    已知函数f(x)＝x4+ax3+2x2+b(x∈R).其中a.b∈R. (1)当a＝-时.讨论函数f(x)的单调性, (2)若函数f(x)仅在x＝0时处有极值.求a的取值范围, (3)若对于任意的a∈.不等式f(x)≤1在上恒成立.求b的取值范围. 解:(1)f′(x)＝4x3+3ax2+4x＝x(4x2+3ax+4). 当a＝-时.f′(x)＝x(4x2-10x-4) ＝2x(2x-1)(x-2). 令f′(x)＝0.解得x1＝0.x2＝.x2＝2. 当x变化时.f′(x).f(x)的变化情况如下表: x 0 2 f′(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)在内是增函数.在内是减函数. (2)f′(x)＝x(4x3+3ax+4).显然x＝0不是方程4x3+3ax+4＝0的根. 为使f(x)仅在x＝0处有极值.必须4x2+3ax+4≥0.即有Δ＝9a2-64≤0. 解此不等式.得-≤a≤.这时.f(0)＝b是唯一极值. 因此满足条件的a的取值范围是. (3)由条件a∈.可知Δ＝9a2-64＜0.从而4x2+3ax+4＞0恒成立. 当x＜0时.f′(x)＜0,当x＞0时.f′(x)＞0. 因此函数f(x)在上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者. 为使对任意的a∈.不等式f(x)≤1在上恒成立.当且仅当 即在a∈上恒成立. 所以b≤-4.因此满足条件的b的取值范围是(-∞.-4]. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R，
    （Ⅰ）当a=时，讨论函数f(x)的单调性；
    （Ⅱ）若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
    （Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f(x)≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

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    已知函数F(x)=-x4+ax3+x2+b，(a，b为常数)，
    (1)当a=1时，F(x)=0有两个不相等的实根，求b的取值范围；
    (2)若F(x)有三个不同的极值点0、x1、x2，a为何值时，能使函数F(x)在x1(或x2)处取得的极值为b？
    (3)若对任意的a∈[-1，0]，不等式F(x)≥-8在[-2，2]上恒成立，求b的取值范围．

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    (理)已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点.若点B的坐标为(2,0),且f(x)在［-1,0］和［4,5］上有相同的单调性,在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性.

    (1)求c的值.

    (2)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

    (3)求|AC|的取值范围.

    (文)已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间［0,1］单调递增,在区间［1,2)单调递减.

    (1)求a的值;

    (2)若点A(x0,f(x0))在函数f(x)的图象上,求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上;

    (3)是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,若存在,请求出实数b的值;若不存在,试说明理由.

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    已知函数f(x)=
    x4+kx2+1
    x4+x2+1
    (k，x∈R)    ．则f（x）的最大值与最小值的乘积为
    k+2
    3
    k+2
    3
    ．

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    （2010•湖北模拟）已知函数F(x)=-
    1
    4
    x4+ax3+
    a2+5a-2
    2
    x2+b    ．（a，b为常数）
    （Ⅰ）当a=1时，F（x）=0有两个不相等的实根，求b的取值范围；
    （Ⅱ）若F（x）有三个不同的极值点0，x1，x2．a为何值时，能使函数F（x）在x1（或者x2）处取得的极值为b？
    （Ⅲ）若对任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，求b的取值范围．

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