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    奇偶性 例9 设f(x)是定义在R上的函数.满足f(x+2)=-f(x).且x∈[0.2]时.． (1)求x∈[-2.0]时.f(x)的表达式, (2)求f(9)和f(-9)的值, (3)证明f(x)是奇函数． [分析]这是一个分段函数问题.首先求出函数的表达式.然后在利用定义证明函数是奇函数． [解析](1)∵x∈[-2.0]时.x+2∈[0.2].∴f(x)=-f(x+2)=-[2(x+2)-(x+2)].即x∈[-2.0]时.． (2)∵f(x+2)=-f(x).∴f(x+4)=-f(x+2)= f(x).∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(9)=f(1)=1.f(-9)= f(-1)=-1.． (3)∵. 又∵f(x)+f(-x)=.∴f(x)+f(-x)=0.(x∈[-2,2]).∴f(x)在[-2,2]上为奇函数．若x∈[4k-2,4k+2].k∈Z.则-x∈[-4k-2, -4k +2].,∴f(x)= f(x-4k).f(-x)= f(-x+4k).且x-4k与-x+4k∈[-2.2]又∵-x+4k=-(x-4k).∴f(-x+4k)=-f(x-4k), ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0
    （1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
    （2）试问：当-3≤x=0≤3时，x=1是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．

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    设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0
    （1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
    （2）试问：当-3≤x=0≤3时，x=1是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．

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    设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0
    （1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
    （2）试问：当-3≤x=0≤3时，x=1是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．

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    设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0
    （1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
    （2）试问：当-3≤x=0≤3时，x=1是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．

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    已知定义在R上的函数f（x）满足：
    ①对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y）；
    ②f（1）=2；
    ③f（x）在[0，1]上为增函数．
    （Ⅰ）求f（0）及f（-1）的值；
    （Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
    （Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）
    （ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f（c）也是某个三角形三边的长；
    （ⅱ）解不等式f（x）＞1．

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