设函数f（x）的定义域为R，若|f（x）|≤|x|对一切实数x均成立，则称函数f（x）为Ω函数．
（Ⅰ）试判断函数f₁（x）=xsinx、f₂（x）=

e-x

ex+1

和f₃（x）=

x2

x2+1

中哪些是Ω函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求证：函数f（x）一定是Ω函数；
（Ⅲ）求证：若a＞0，则函数f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函数．

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{a_n}满足f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

（n∈N^*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N^*，s≠t，使得点（t，a_s）、（s，a_t）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a _n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{a_n}满足f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N^*，s≠t，使得点（t，a_s）、（s，a_t）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a_n＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a₁=f（0），不等式

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

＞

12

35

(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）；
（2）试判断函数f（x）在[0，+∞）上是否存在最小值，若存在，求该最小值；若不存在，说明理由；
（3）设数列{a_n}各项都是正数，且满足a₁=f（0），f(

a

2 n+1

-

a

2 n

)=

1

f(-an+1-an)

（n∈N^*），又设bn=(

1

2

)an，S_n=b₁+b₂+…+b_n，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，当n≥2时，试比较S_n与T_n的大小，并说明理由．