练习册

  • 练习册
  • 试题
    不等式证明还有一些常用的方法:换元法.放缩法.反证法.函数单调性法.判别式法.数形结合法等.换元法主要有三角代换.均值代换两种.在应用换元法时.要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.放缩要有的放矢.目标可以从要证的结论中考查.有些不等式.从正面证如果不易说清楚.可以考虑反证法.凡是含有“至少 “惟一 或含有其他否定词的命题.适宜用反证法. 证明不等式时.要依据题设.题目的特点和内在联系.选择适当的证明方法.要熟悉各种证法中的推理思维.并掌握相应的步骤.技巧和语言特点. [练31]数列由下列条件确定: (1) 证明:对于总有,(2)证明:对于.总有. [易错点32]函数与方程及不等式的联系与转化.学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路. 例32.已知二次函数满足.且对一切实数恒成立. 求, 求的解析式,求证: [易错点分析]对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手.没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识.解题找不到思路. 解:(1)由已知令得: (2)令由得:即则对任意实数恒成立就是 对任意实数恒成立.即: 则 知 故 故原不等式成立． [知识点归类点拔]函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想.是指用函数的概念和性质去分析问题.转化问题和解决问题.方程思想.是从问题的数量关系入手.运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程.不等式.或方程与不等式的混合组).然后通过解方程来使问题获解.有时.还实现函数与方程的互相转化.接轨.达到解决问题的目的.对于不等式恒成立.引入新的参数化简了不等式后.构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题.其中也联系到了方程无解.体现了方程思想和函数思想.一般地.我们在解题中要抓住二次函数及图像.二次不等式.二次方程三者之间的紧密联系.将问题进行相互转化. [练32]已知二次函数.满足,且对任意实数x都有,当时有(1)求的值,(2)证明(3)当时.函数是单调的.求证:或 (1)略 [易错点33]利用函数的的单调性构造不等关系.要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制. 例33.记.若不等式的解集为.试解关于t的不等式. [易错点分析]此题虽然不能求出a,b,c的具体值.但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程的两根.但易忽视二次函数开口方向.从而错误认为函数在上是增函数. 解析:由题意知.且故二次函数在区间上是增函数.又因为.故由二次函数的单调性知不等式等价于即故即不等式的解为:. [知识点分类点拔]函数的单调性实质是就体现了不等关系.故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容.也是我们解答不等式问题的重要工具.在解题过程中要加意应用意识.如指数不等式.对数不等式.涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关. [练33](1)解关于的不等式 答案:当时.解集为当时.解集为 当时解集为. 设函数,求使≥的的x取值范围. 答案:x取值范围是 [易错点34]数学归纳法的应用.学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识.忽视其步骤的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在. 例34.自然状态下的鱼类是一种可再生资源.为持续利用这一资源.需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第n年年初的总量.n∈N＊.且＞0.不考虑其它因素.设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比.死亡量与成正比.这些比例系数依次为正常数a.b.c.(Ⅰ)求与的关系式,(Ⅱ)猜测:当且仅当.a.b.c满足什么条件时.每年年初鱼群的总量保持不变?设a＝2.b＝1.为保证对任意∈(0,2).都有＞0..则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论. [易错点分析]本题为数列模型应用题,主要考查数列.不等式和数学归纳法.2005年高考主要涉及两种类型应用题.一种类型为概率.另一种为数列.给我们信息:数学越来越贴近生活.数学越来越强调实用性, 我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练,可见.高考数学越来越注意与函数.不等式.导数.向量等工具结合.这是将来高考的方向. [解析](I)从第n年初到第n+1年初.鱼群的繁殖量为.被捕捞量为.死亡量为 因此即. (II)若每年年初鱼群总量保持不变.则恒等于..从而由上式得恒等于零, 故即 因为>0.所以.猜测:当且仅当.且时.每年年初鱼群的总量保持不变. (Ⅲ)若b的值使得>0..由 知 , 特别地.有. 即.而∈.所以.由此猜测b的最大允许值是1. 下证 当∈ .b=1时.都有∈, . ①当n=1时.结论显然成立.②假设当n=k时结论成立.即∈,则当n=k+1时..又因为.所以∈.故当n=k+1时结论也成立.由①.②可知.对于任意的.都有∈(0,2).综上所述.为保证对任意∈, 都有>0. .则捕捞强度b的最大允许值是1. [知识点归类点拔]归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质.推断该类事物全体都具有的性质.这种推理方法.在数学推理论证中是不允许的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法.在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法.论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立.这是递推的基础,第二步是假设在n＝k时命题成立.再证明n＝k+1时命题也成立.这是无限递推下去的理论依据.它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般.实际上它使命题的正确性突破了有限.达到无限.这两个步骤密切相关.缺一不可.完成了这两步.就可以断定“对任何自然数(或n≥n且n∈N)结论都正确 .由这两步可以看出.数学归纳法是由递推实现归纳的.属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时.关键是n＝k+1时命题成立的推证.此步证明要具有目标意识.注意与最终要达到的解题目标进行分析比较.以此确定和调控解题的方向.使差异逐步减小.最终实现目标完成解题.运用数学归纳法.可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式.代数不等式.三角不等式.数列问题.几何问题.整除性问题等等. [练34](2005年全国卷Ⅰ统一考试理科数学) (Ⅰ)设函数.求的最小值, (Ⅱ)设正数满足.证明 答案:(Ⅰ)(Ⅱ)用数学归纳法证明. 已知函数设数列}满足.数列}满足 (Ⅰ)用数学归纳法证明, (Ⅱ)证明 [易错点35]涉及向量的有关概念.运算律的理解与应用.易产生概念性错误. 例35.下列命题: ① ② ③ |·|=||·||④若∥∥则∥ ⑤∥.则存在唯一实数λ.使 ⑥若.且≠.则⑦设是平面内两向量.则对于平面内任何一向量.都存在唯一一组实数x.y.使成立.⑧若|+|=|-|则·=0.⑨·=0.则=或=真命题个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．3个以上 [易错点分析]共线向量.向量的数乘.向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提.在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来.如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论. 解析:①正确.根据向量模的计算判断.②错误.向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义表示和向量共线的向量.同理表示和向量共线的向量.显然向量和向量不一定是共线向量.故不一定成立.③错误.应为④错误.注意零向量和任意向量平行.非零向量的平行性才具有传递性. ⑤错误.应加条件“非零向量 ⑥错误.向量不满足消去律.根据数量的几何意义.只需向量和向量在向量方向的投影相等即可.作图易知满足条件的向量有无数多个.⑦错误.注意平面向量的基本定理的前提有向量是不共线的向量即一组基底.⑧正确.条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等.即四边形为矩形.故·=0.⑨错误.只需两向量垂直即可. 答案:B [知识点归类点拔]在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时.一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答.要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处.一般地已知a.b.с和实数λ.则向量的数量积满足下列运算律:①a·b＝b·a ·b＝λ ·с＝a·с+b·с 一般地.a·с＝b·с.с≠0a＝b(3)有如下常用性质:a2＝|a|2.＝a·с+a·d+b·с+b·d.(a+b)2＝a2+2a·b+b2 [练35]若a.b.c为任意向量.m∈R.则下列等式不一定成立的是( ) A.·c=a·c+b·c C.mc=a (2)(2000江西.山西.天津理.4)设a.b.c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①b=0 ②|a|-|b|<|a-b| ③b不与c垂直④=9|a|2-4|b|2中.是真命题的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案:D [易错点36]利用向量的加法.减法.数量积等运算的几何意义解题时.数形结合的意识不够.忽视隐含条件. 例36.四边形ABCD中.＝a.＝b.＝с.＝d.且a·b＝b·с＝с·d＝d·a.试问四边形ABCD是什么图形? [易错点分析]四边形的形状由边角关系确定.关键是由题设条件演变.推算该四边形的边角量.易忽视如下两点:(1)在四边形中....是顺次首尾相接向量.则其和向量是零向量.即a+b+с+d＝0.应注意这一隐含条件应用,(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积.因为数量积的定义式中含有边.角两种关系. 解:四边形ABCD是矩形.这是因为一方面:由a+b+с+d＝0得a+b＝-2＝2即|a|2+2a·b+|b|2＝|с|2+2с·d+|d|2由于a·b＝с·d.∴|a|2+|b|2＝|с|2+|d|2①同理有|a|2+|d|2＝|с|2+|b|2②由①②可得|a|＝|с|.且|b|＝|d|即四边形ABCD两组对边分别相等∴四边形ABCD是平行四边形另一方面.由a·b＝b·с.有b＝0.而由平行四边形ABCD可得a＝-с.代入上式得b·(2a)＝0即a·b＝0.∴a⊥b也即AB⊥BC.综上所述.四边形ABCD是矩形 [知识点归类点拔]向量是高考的一个亮点.因为向量知识.向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用.而它具有代数形式和几何形式的“双重身份 能融数形于一体.能与中学数学教学内容的许多主干知识综合.形成知识交汇点.所以高考中应引起足够的重视.基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合.以形助数的解题思路.例如很多重要结论都可用这种思想直观得到:(1)向量形式的平行四边形定理:2(||+||)=|-|+|+|(2)向量形式的三角形不等式:|||-|||≤|±|≤||+||(试问:取等号的条件是什么?),(3)在△ABC中.若点P满足,=则直线AP必经过△ABC的内心等等有用的结论. [练36]O是平面上一 定点.A.B.C是平面上不共线的三个点.动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的 ( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 点O是三角形ABC所在平面内的一点.满足.则点O是的( ) (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 的外接圆的圆心为O.两条边上的高的交点为H..则实数m = 答案:m=1 [易错点37]忽视向量积定义中对两向量夹角的定义. 例37.已知中,,求 [易错点分析]此题易错误码的认为两向量和夹角为三角形ABC的内角C导致错误答案. 解析:由条件根据余弦定理知三角形的内角.故两向量和夹角为的补角即,故据数量积的定义知. [知识点归类点拔]高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是.两直线的夹角的范围是.两向量的夹角的范围是.异面直线所成的角的范围是.直线和平面所成的角的范围是二面角的取值范围是. [练37]在ΔABC中.有如下命题.其中正确的是() (1)(2)(3)若.则ΔABC为等腰三角形(4)若.则ΔABC为锐角三角形. A. C. 答案:C [易错点38]向量数积积性质的应用. 例38.已知a.b都是非零向量.且a + 3b与7a - 5b垂直.a - 4b与7a - 2b垂直.求a与b的夹角. [思维分析]本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想. 解析:由 = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 ① = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 ②两式相减:2a×b = b2代入①或②得:a2 = b2设a.b的夹角为q.则cosq = ∴q = 60°. [知识点归类点拔]利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度.角度.垂直等解析几何.立体几何.代数等问题.要熟记并灵活应用如下性质:设a与b都是非零向量.①a与b的数量积的几何意义是向量a在向量b方向的单位向量正射影的数量②a⊥ba·b＝0③a·a＝|a|2或|a|＝④cosθ＝⑤|a·b|≤|a|·|b| [练38]已知向量若则与的夹角为( )A．30° B．60° C．120° D．150°答案:C 已知向量≠.||＝1.对任意t∈R.恒有|-t|≥|-|.则 (A) ⊥ (B) ⊥(-) (C) ⊥(-) (D) (+)⊥(-)答案:C [易错点39]向量与三角函数求值.运算的交汇 例39..与的夹角为θ1. 与的夹角为θ2.且的值. [易错点分析]此题在解答过程中.学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来.注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中.易忽视角的范围而导致错误结论. 解析:故有因.从而 [知识点归类点拔]当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性.重视知识的交汇性.向量是新课程新增内容.具体代数与几何形式的双重身份.它是新旧知识的一个重要的交汇点.成为联系这些知识的桥梁.因此.向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势.高考对三角的考查常常以向量知识为载体.结合向量的夹角.向量的垂直.向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力. [练39]已知向量,令是否存在实数,使(其中是的导函数)?若存在,则求出的值,若不存在,则证明之 答案:存在实数使等式成立. 已知向量和.且求的值.答案:. [易错点40]向量与解三角形的交汇. 例40.ΔABC内接于以O为圆心.1为半径的圆.且3+4+5=.①求数量积.·.·.·,②求ΔABC的面积. [思维分析]第1由题意可知3.4.5三向量的模.故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可.第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答. 解析:①∵||=||=||=1由3+4+5=得:3+4=-5两边平方得:92+24·+162=252∴·=0同理:由4+5=-3求得·=-由3+5=-4求得·=- ②由·=0,故=||||=由·=-得cos∠BOC=- ∴sin∠BOC=-∴=||||sin∠BOC=.由·=-得cos∠COA=-∴sin∠COA=∴=||||sin∠COA=即=++=++= [知识点归类点拔]本题考查了向量的模.向量的数量积的运算.用于表达三角形的内角.面积. [练40]△ABC中.内角A.B.C的对边分别是a,b,c.已知a,b,c成等比数列.且cosB＝.设.求的值. 答案:(1)(3). (2)已知向量=(2.2).向量与向量的夹角为.且·=-2.①求向量, ②若.其中A.C是△ABC的内角.若三角形的三内角A.B.C依次成等差数列.试求|+|的取值范围.答案:①或② [易错点41]与向量相结合的三角不等式.学生的综合运用知识解决问题的能力不够. 例41.已知二次函数f(x)对任意x∈R.都有f成立.设向量=.=.当x∈[0,π]时.求不等式f的解集. [易错点分析]易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角.向量.函数三者的综合程度不够. 解析:设f(x)的二次项系数为m.其图象上的两点为A(1-x,y1).B(1+x,y2).因为=1.f.所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称.若m＞0.则x≥1时.f(x)是增函数,若m＜0.则x≥1时.f(x)是减函数.∵·==2sin2x+1≥1.·==cos2x+2≥1∴当m＞0时.ff(2sin2x+1)＞f2sin2x+1＞cos2x+21-cos2x+1＞cos2x+2cos2x＜02kπ+＜2x＜2kπ+,k∈zkπ+＜x＜kπ+,k∈z∵0≤x≤π ∴＜x＜当m＜0时.同理可得0≤x＜或＜x≤π综上所述.不等式f的解集是:当m＞0时.为{x|＜x＜,当m＞0时.为{x|0≤x＜或＜x＜π. [知识点分类点拔]在运用函数的单调性构造不等式时.一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性如何.通过本题要很好的体会向量.不等式.函数三者的综合.提高自已应用知识解决综合问题的能力. [练41]若在定义域内可导,且.点A(1,());B((-),1).对任意∈恒有成立.试在内求满足不等式(sincos)+(cos2)>0的的取值范围.答案:.() [易错点42]向量与解析几何的交汇 例42.已知常数a>0.向量c=.经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0.a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问:是否存在两个定点E.F.使得|PE|+|PF|为定值.若存在.求出E.F的坐标,若不存在.说明理由. [易错点分析]此题综合程度较高.一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误.另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答.使思维陷入僵局. 解析:根据题设条件.首先求出点P坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点.使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=. ∴c+λi=.i-2λc=因此.直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数λ.得点的坐标满足方程.整理得 --① 因为所以得:(i)当时.方程①是圆方程.故不存在合乎题意的定点E和F,(ii)当时.方程①表示椭圆.焦点和为合乎题意的两个定点,(iii)当时.方程①也表示椭圆.焦点和为合乎题意的两个定点. [知识点归类点拔]本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法.椭圆的方程和性质.利用方程判定曲线的性质.曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律.在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如:线段的比值.长度.夹角特别是垂直.点共线等问题.提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识. [练42]已知椭圆的中心为坐标原点O.焦点在轴上.斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点.与共线.(Ⅰ)求椭圆的离心率,(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点.且.证明为定值. 答案:(1)(2)=1 (2) 已知两点M.且点P使·.· 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    用柯西不等式证明问题导入中的不等式.

    查看答案和解析>>

    用柯西不等式证明问题导入中的不等式.

    查看答案和解析>>

    根据定理中的基本公式，易得到一些常用的变形公式和递推公式，你能写出来吗？

    查看答案和解析>>

    根据定理中的基本公式，易得到一些常用的变形公式和递推公式，你能写出来吗？

    查看答案和解析>>

    23、课本小结与复习的参考例题中，给大家分别用“综合法”，“比较法”和“分析法”证明了不等式：已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，则|ac+bd|≤1．这就是著名的柯西（Cauchy．法国）不等式当n=2时的特例，即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），等号当且仅当ad=bc时成立．
    请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明．

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案