（本小题满分12分）

现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物，等可能地向左，右两边落下。

游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次。

求投球一次，小球落入B槽的概率；

设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量 ，求的分布列及数学期望。