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    12．定义在R上的函数f(x)满足对任意x.y∈R恒有f(xy)＝f(x)+f(y).且f(x)不恒为0. (1)求f(1)和f(-1)的值, (2)试判断f(x)的奇偶性.并加以证明, (3)若x≥0时f(x)为增函数.求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x的取值集合． 解:(1)令x＝y＝1.得f(1)＝f(1)+f(1)． ∴f(1)＝0. 令x＝y＝-1.得f(1)＝f(-1)+f(-1)． ∴f(-1)＝0. (2)令y＝-1.由f(xy)＝f(x)+f(y).得 f(-x)＝f(x)+f(-1)． 又f(-1)＝0.∴f(-x)＝f(x). 又f(x)不恒为0.∴f(x)为偶函数． (3)由f(x+1)-f(2-x)≤0.知f(x+1)≤f(2-x)． 又由(2)知f(x)＝f(|x|). ∴f(|x+1|)≤f(|2-x|)． 又∵f(x)在[0.+∞)上为增函数.∴|x+1|≤|2-x|. 故x的取值集合为. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)不恒为0.

    (1)求f(1)和f(－1)的值；

    (2)试判断f(x)的奇偶性，并加以证明；

    (3)若x≥0时f(x)为增函数，求满足不等式f(x＋1)－f(2－x)≤0的x的取值集合．

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    定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x＜0时，f(x)＜1

    (Ⅰ)证明f(x)在R上是增函数；

    (Ⅱ)若f(3)＝4求函数f(x)在[1，3]上的值域．

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    若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是…(    )

    A.f(x)为奇函数                                  B.f(x)为偶函数

    C.f(x)+1为奇函数                                D.f(x)+1为偶函数

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    若定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则下列说法一定正确的是

    [　　]
    A．

    f(x)是奇函数

    B．

    f(x)是偶函数

    C．

    f(x)＋2是奇函数

    D．

    f(x)＋2是偶函数

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    已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x1，x2，总有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1恒成立，已知f(1)＝1，若对任意的正整数n，有，．

    (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

    (2)记Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan+1，Tn＝b1b2＋b2b3＋…＋bnbn+1，试比较与Tn的大小关系，并给出证明．

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