已知一个二次函数的图象经过A（-1，0）、B（0，3）、C（4，-5）三点．
（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点D的坐标；
（2）这个函数的图象与x轴有两个交点，除点A外的另一个交点设为E，点O为坐标原点．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE着四个三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪几对三角形相似，并加以证明；如果没有，要说明理由．

已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，⊙O₁过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒

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个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO₁交y轴于E点，P、Q运动的时间为t（秒）．
（1）直接写出E点的坐标和S_△ABE的值；
（2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O₁有哪几种位置关系，并指出对应的运动时间t的范围；
（3）当Q点运动在折线AD→DC上时，是否存在某一时刻t使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，说明理由．

已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC=CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．
（3）探究：在（2）的情况下，如果再限制∠BAD=60°，那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系？需说明理由．