3.观察算式找规律 例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下.请计算他们的总分与平均分. 87.91.94.88.93.91.89.87.92.86.90.92.88.90.91.86.89.92.95.88. 分析与解 若直接把20个数加起来.显然运算量较大.粗略地估计一下.这些数均在90上下.所以可取90为基准数.大于90的数取“正 .小于90的数取“负 .考察这20个数与90的差.这样会大大简化运算.所以总分为 90×20++(-3) +2++(-1) +2+5+(-2) =1800-1=1799. 平均分为 90+(-1)÷20=89.95. 例12 计算1+3+5+7+-+1997+1999的值. 分析 观察发现:首先算式中.从第二项开始.后项减前项的差都等于2,其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000.于是可有如下解法. 解 用字母S表示所求算式.即 S=1+3+5+-+1997+1999. ① 再将S各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+-+3+1. ② 将①.②两式左右分别相加.得 2S=+-+ =2000+2000+-+2000+2000 =2000×500. 从而有 S=500 000. 说明 一般地.一列数.如果从第二项开始.后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=-=1999-1997.都等于2).那么.这列数的求和问题.都可以用上例中的“倒写相加 的方法解决. 例13 计算 1+5+52+53+-+599+5100的值. 分析 观察发现.上式从第二项起.每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5.所得新和式中除个别项外.其余与原和式中的项相同.于是两式相减将使差易于计算. 解 设 S=1+5+52+-+599+5100. ① 所以 5S=5+52+53+-+5100+5101. ② ②-①得 4S=5101-1. 说明 如果一列数.从第二项起每一项与前一项之比都相等.那么这列数的求和问题.均可用上述“错位相减 法来解决. 例14 计算: 分析 一般情况下.分数计算是先通分.本题通分计算将很繁.所以我们不但不通分.反而利用如下一个关系式 来把每一项拆成两项之差.然后再计算.这种方法叫做拆项法. 解 由于 所以 说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项.这种方法在有理数巧算中很常用. 练习一 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

观察下列算式找规律填空
12-02=1+0=1  22-12=2+1=3   32-22=3+2=5________
若字母n表示自然数,请你把你观察到的规律用含n的式子表示出来:________.

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观察下列算式找规律填空
12-02=1+0=1    22-12=2+1=3     32-22=3+2=5
42-32=4+3=7
42-32=4+3=7

若字母n表示自然数,请你把你观察到的规律用含n的式子表示出来:
(n+1)2-n2=n+1+n=2n+1
(n+1)2-n2=n+1+n=2n+1

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观察图所示的某班学生喜爱各种球类运动的统计图,回答问题:

  (1)喜爱的球类运动有哪些?哪种球类运动最受欢迎?

  (2)最受欢迎的两种球类运动是什么?它们的百分比之和是多少?

  (3)图中的各个扇形分别代表了什么?所有百分比之和是多少?

  (4)如果你是体育委员,准备组织全班同学观看一场球类比赛,为了吸引尽可能多的同学去观看,你会组织观看什么比赛?

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观察图形找规律:

  

(1)

如图1所示中共有________个三角形

如图2所示中共有________个三角形

如图3所示中共有________个三角形

(2)

根据以上规律进行猜想,如图所示中有多少个三角形?

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等式中找规律

  孙海洋是个爱动脑筋的八年级学生,他特别喜欢数学,一有空就看数学课外书,并琢磨书上的问题.有一次,他从一本书中看到了下面一个有趣的问题:

  仔细观察下面4个等式:

  32=2+22+3

  42=3+32+4

  52=4+42+5

  62=5+52+6

  ……

  请写出第5个等式,由此能发现什么规律?用公式将发现的规律表示出来.

  对这个问题,孙海洋感到很新奇,他认真分析题目给出的4个等式,发现有以下一些结构特征:

  (1)每个等式的左边都是一个自然数的平方,等式的右边都是3个数的和.

  (2)4个等式的左边依次是32、42、52、62,它们的底数3、4、5、6是4个连续的自然数,其大小均比所处等式的序号多2.

  (3)每个等式右边的3个加数也有明显的规律.

  第1个加数和第3个加数是两个连续的自然数,并且第3个加数等于该等式左边平方数的底数,第2个加数也是一个平方数,底数等于第1个加数.

  根据以上规律,孙海洋猜想第5个等式应该是72=6+62+7.

  孙海洋进一步归纳了这5个等式的规律,用公式表示为(n+1)2=n+n2+(n+1)…①其中n=2,3,…

  如果将①式右边变形、左边不变,那么可得(n+1)2=n2+2n+1…②

  等式②多么眼熟啊!它不就是完全平方公式的一个具体应用吗?由此可见,孙海洋同学归纳的规律是正确的.

想一想,当n=0,1时,等式①是否成立?当n为负整数时,等式①是否成立?

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同步练习册答案