如图，矩形ABCD中，∠ADB=30°，AB=2

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．动点P从A点出发沿AD方向运动，速度为每秒3个单位，终点是点D；动点Q从C点出发沿CB方向运动，速度为每秒1个单位，终点是点B． 若P、Q两点同时出发，出发时间为t秒，点P、点Q中有一点停止运动，另一点也随之而停止运动．分别以P、Q为圆心，PA、QC为半径作⊙P和⊙Q．
（1）填空：AD的长为；
（2）当⊙P与直线BD相切时，
①用直尺和圆规在图①中作出⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；
②求出此时t的值．
（3）求t为何值时，⊙P与⊙Q相切？

在矩形ABCD中，AD=2，2＜AB＜4，现将一个直径MN为2的量角器如图摆放，使其0°线的端点N与C重合，M与B重合，O为MN的中点，量角器的半圆弧与矩形ABCD的对角线AC、BD分别交于P、Q，设P、Q在量角器上的度数分别是x、y．
（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）将量角器绕C点逆时针旋转，使它的直径落在AC上，如图所示，O′为M′C的中点，此时量角器的半圆弧交DC于K，若K点的度数为z，那么z与y的数量关系是什么，请说明理由；
（3）在（2）问图中，若M′B∥KO，求出此时AB的长．

如图，矩形ABCD中，已知边AB、BC 的长恰为关于x的一元二次方程x²-（m-2）x+3m=0的两个根．动点P、Q分别从点B、C出发，其中，点P以a cm/s的速度，沿B→C的路线向点C运动；点Q以3cm/s的速度，沿C→D的路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）（t＞0），且当t=2时，P、Q两点恰好同时到达目的地．
（1）求m、a的值；
（2）是否存在这样的t，使得△APQ的外心恰好在△APQ的某一边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB, CD的延长线分别交于E,F．

【小题1】求证：△BOE≌△DOF；
【小题2】在现有条件下，再添加EF与AC满足什么关系时，以A,E,C,F为顶点的四边形是菱形？