题目列表(包括答案和解析)
阅读下面一段:
计算1+5+52+53…+599+5100.
观察发现,上式从第二项起,每项都是它前面一项的5倍,如果将上式各项都乘以5,所得新算式中除个别项外,其余与原式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.
解:设S=1+5+52+53…+599+5100,①
则5S=5+52+…+5100+5101,②
②-①得4S=5101-1,则S=
.
上面计算用的方法称为“错位相减法”,如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5),那么这列数的求和问题,均可用上述“错位相减”法来解决.
下面请你观察算式1+
+
+
+…+
是否具备上述规律?若是,请你尝试用“错位相减”法计算上式的结果.
如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
(1)请用字母a和b表示出图1中阴影部分的面积;
(2)图1中的阴影部分还能拼成一个长方形(如图2),这个长方形的长和宽分别为多少?面积为多少?
(3)比较(1)和(2)的结果,可以验证两数和乘以这两数差的乘法公式吗?请给予解答.
在前面的学习中,我们通过对同一面积的不同表达和比较,根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式
这种利用面积关系解决问题的方法,使抽象的数量关系因集合直观而形象化。
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【研究速算】
提出问题:47×43,56×54,79×71,……是一些十位数字相同,且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式,是否可以找到一种速算方法?
几何建模:
用矩形的面积表示两个正数的乘积,以47×43为例:
(1)画长为47,宽为43的矩形,如图③,将这个47×43的矩形从右边切下长40,宽3的一条,拼接到原矩形的上面。
(2)分析:原矩形面积可以有两种不同的表达方式,47×43的矩形面积或(40+7+3)×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和,即47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021,用文字表述47×43的速算方法是:十位数字4加1的和与4相乘,再乘以100,加上个位数字3与7的积,构成运算结果。
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归纳提炼:
两个十位数字相同,并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是(用文字表述) .
【研究方程】
提出问题:怎么图解一元二次方程![]()
几何建模:
(1)变形:![]()
(2)画四个长为
,宽为
的矩形,构造图④
![]()
(3)分析:图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式,
或四个长
,宽
的矩形之和,加上中间边长为2的小正方形面积
即: ![]()
∵![]()
∴![]()
∴![]()
∵![]()
∴![]()
归纳提炼:求关于
的一元二次方程
的解
要求参照上述研究方法,画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图,并标注相关线段的长)
【研究不等关系】
提出问题:怎么运用矩形面积表示
与
的大小关系(其中
)?
几何建模:
(1)画长
,宽
的矩形,按图⑤方式分割
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(2)变形:![]()
(3)分析:图⑤中大矩形的面积可以表示为
;阴影部分面积可以表示为
,
画点部分的面积可表示为
,由图形的部分与整体的关系可知:
>
,即
>![]()
归纳提炼:
当
,
时,表示
与
的大小关系
根据题意,设
,
,要求参照上述研究方法,画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图,并标注相关线段的长)
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