解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．

∵，．

∴．

∴．

∴ ．解得．  5分

（2）分三种情况讨论：

① 当时，如图②作交于，则有即．

∵，

∴，

∴，

解得． 6分

② 当时，如图③，过作于H．

则，

∴．

∴．7分

③ 当时，如图④．

则．

．      -------------------------------------8分

综上所述，当、或时，为等腰三角形．

解：（1）旋转后的图象解析式为．  ………………………  1分

（2）由旋转可得（4，-1）、（1，-4）．  …………………………  3分

（3）依题意，可知．若为直角三角形，则同时也是等腰三角形，因此，只需求使为直角三角形的值．

分两种情况讨论：

①当是直角，时，如图1，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=MN=t，

∴B′M=8-t，

∵，

∴．  …………  4分

解得  （舍去负值），

∴．  ………………  5分

②当是直角，时，

如图2，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=t，

∴B′M=MN=8-t，

∵，

∴，

解得  ．

∵，，

∴此时t值不存在．  ……………  6分

（此类情况不计算，通过画图说明t值不存在也可以）

综上所述，当时，为等腰直角三角形．  ………………  7分

解：（1）由抛物线C₁：得顶点P的坐标为（2，5）………….1分

∵点A（－1，0）在抛物线C₁上∴.………………2分

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..

∵点P、M关于点A成中心对称,

∴PM过点A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴顶点M的坐标为（，5）.………………………3分

∵抛物线C₂与C₁关于x轴对称，抛物线C₃由C₂平移得到

∴抛物线C₃的表达式.  …………4分

（3）∵抛物线C₄由C₁绕x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称.

 由（2）得点N的纵坐标为5.

设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.

∵旋转中心Q在x轴上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，点E坐标为（，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，－5）.

根据勾股定理，得

     

  

       

①当∠PNE＝90º时，PN²+ NE²＝PE²，

解得m＝，∴N点坐标为（，5）

②当∠PEN＝90º时，PE²+ NE²＝PN²，

解得m＝，∴N点坐标为（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．·················· 2分

抛物线的对称轴是：x=1．······················· 3分

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

解得：k= -1，b=3．

所以直线BC的函数关系式为：．

当x=1时，y= -1+3=2，∴E（1，2）．

当时，，

∴P（m，m+3）．·························· 4分

在中，当时，　

∴

当时，∴········· 5分

∴线段DE=4-2=2，线段···· 6分

∵

∴当时，四边形为平行四边形．

由解得：（不合题意，舍去）．

因此，当时，四边形为平行四边形．··········· 7分

②设直线与轴交于点，由可得：

∵························ 8分

即．

·········· 9分

解下列方程
（1）用公式法解方程：x2-2

2

x+1=0
（2）用配方法解方程：2x²+2

3

x+1=0
（3）用因式分解法：（2y+1）²=4y+2
（4）用适当的方法解方程：x²-6x+9=（5-2x）²．