如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S₁。

（1）求证：∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S₂，CF=，。

①求关于的函数解析式和自变量的取值范围，并求出的最大值；

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求的值。

已知：如图1，在Rt⊿ACB中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s;点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2).解答下列问题：

1.①.当t为何值时，PQ∥BC? 

2.②.设⊿AQP的面积为y(cm),求y与t之间的函数关系式；

3.③.是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt⊿ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

4.④.如图2，连接PC，并把⊿PQC沿QC翻折，得到四边形PQC,那么是否存在某时刻t，使四边形PQC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由。