点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线上于点A，连接OA。
（1）如下图（1），当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；
（2）如下图（2），在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP 于点G设△AOP的面积为S₁，梯形BCPD的面积为S2，则S₁与S₂的大小关系是S₁（    ）S₂。（选填或）
（3）如下图（3），AO的延长线与双曲线的另一个交点是点F，FH⊥x轴，垂足为 H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为一常数。

（2013•湖州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记
△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m=（用含n的代数式表示）．

（2012•梓潼县一模）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=

3

x

（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）

（2012•大港区一模）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90°的旋转变换得到AB．过B作x轴的垂线、过C作y轴的垂线，两直线交于D，直线DB交x轴于一点E．
（1）求证：△AOC∽△BEA；
（2）如果点A的横坐标为t，△BCD的面积为S，当t为何值时，S=6.25？
（3）如果以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似，求此时点A的坐标．