如图，在△ABC中，AE=EB，AF=FC，有一同学发现EF与BC存在以下关系：EF∥BC，且EF=

1

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BC．
（1）请你用学过的知识来说明上述关系成立的理由．
（2）如图：在（1）的结论下，过BC、EF作直线，过A作BC的平行线．将AC向左平移到DC，得到图②，将AC向右平移到DC，得到图③．在图②和图③中猜想线段EF与线段AD、BC的关系，请把你猜想的结论填在图下的方框内，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=-2x+12的图象相交于点A，动点E从O点出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN，设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S．
（1）求点A的坐标；
（2）求过A、B、O三点的抛物线的顶点P的坐标；
（3）当点E在线段OA上运动时，求出S与运动时间t（秒）的函数表达式；
（4）在（3）的条件下，t为何值时，S有最大值，最大值是多少？此时（2）中的抛物线的顶点P是否在直线EF上，请说明理由．

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．
（1）过点E作直线EF交AC边于点F，当EF=AF时，求证：直线EF为半圆O的切线；
（2）当BD=3时，求线段DE的长．