正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则正方形BDEF与正方形ABCD的面积之比为．

如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′．设平移的距离为x（cm），两个三角形重叠部分（阴影四边形）的面积为S（cm²）．
（1）当x=1时，求S的值．
（2）试写出S与x间的函数关系式，并求S的最大值．
（3）是否存在x的值，使重叠部分的四边形的相邻两边之比为1：

2

？如果存在，请求出此时的平移距离x；如果不存在，请说明理由．