如图，已知正方形OABC的边长为 2，点D为 CO的中点，抛物线经过点A，且顶点为 D，点P为抛物线上的动点，且横坐标为 m。
(1)求该抛物线的解析式。
(2)过点P作直线EP平行于y轴，交BC所在直线于点E，连接OP，某数学小组在探究时发现：动点P到BC所在直线的距离PE始终等于OP，你认为正确吗？请说明理由。
(3)在(2)中，连接OE，当△OPE为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形时，分别求 m的取值范围。