题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE．

问题探究：

1.（1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．

类比研究：

2.（2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图所示），且=k（其中k＞0），请写出  线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断（仅证数量关系）．

拓展应用：

3.（3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE²+DG²的值．

将矩形纸片沿对角线剪开，得和，如图（1-1）所示.将的顶点与点重合，并绕点按逆时针方向旋转，使点、、在同一条直线上，如图(1-2)所示.
【小题1】观察图可知：与BC相等的线段是______，=_______；

【小题2】如图(2)，中，于点，以为直角顶点，分别以、为直角边，向外作等腰和等腰，过点作射线的垂线，垂足分别为. 求证：.

【小题3】如图(3)，中，于点，以为直角顶点，分别以、为直角边，向外作和，过点作射线的垂线，垂足分别为.若,试探究与之间的数量关系，并说明理由.

题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE．

问题探究：

1.（1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．

类比研究：

2.（2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图所示），且=k（其中k＞0），请写出  线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断（仅证数量关系）．

拓展应用：

3.（3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE²+DG²的值．